Краевые задачи для системы уравнений с частотными производными дробного порядка

• Автор: Мамчуев, Мурат Османович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 101 с.

1 Краевые задачи в прямоугольной области

§ 1. Общее представление решения

§ 2. Построение матрицы Грина первой краевой задачи

§ 3. Теорема существования и единственности решения первой

краевой задачи

§ 4. Смешанная задача

§ 5-, Смешанная задача для системы общего вида

2 Краевые задачи в неограниченных областях

§ 1. Задача Коши в нелокальной постановке

§ 2. Асимптотическое поведение фундаментальной матрицы решений

§ 3. Краевая задача на полуоси

3 Применение к краевым задачам для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части
§ 1. Задача Коши в нелокальной постановке
§ 2. Общее представление решения
§ 3. Краевая задача в полуполосе
§ 4. Функции Грина основных краевых задач
Заключение
Список литературы

Оператор дробного интегродифференцирования по Риману и Лиу-виллю и различные его обобщения играют существенную роль в теории краевых задач со смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их определения. Основополагающие результаты в этом направлении получены в известных работах
A.B. Бицадзе [4], Т.Д. Джураева [5], В.И. Жегалова [6] - [8], Е.И. Моисеева [42], А.М. Нахушева [43], [44], O.A. Репина [68] - [71], М.С. Сала-хитдинова [72], М. Сайго [77], [78].
Краевые задачи со смещением для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа сделали вполне очевидным, что без развития дробного исчисления невозможно реализовать ал-гебраизацию теории уравнений смешанного типа.
Матричные и скалярные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь принципиально новым обобщением уравнений с частными производными целого порядка, кроме большого теоретического интереса, имеют и важное практическое значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой [45], [47], [48].
В настоящее время, ’’дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред” [47, с.8]. В частности, этим обусловлен рост внимания исследователей к дробному исчислению, и актуальность развития методов решения краевых задач для уравнений и систем с частными производными

дробного порядка.
Многие вопросы переноса и диффузии физических и биологических субстанций в средах с фрактальной геометрией и классической теории тепла сводятся к решению начальных, краевых и смешанных задач для систем двух дифференциальных уравнений в частных производных вида
где и = и(х,у) и V = ь(х,у) — действительные функции действительных переменных х и у, а € (0,1), А > 0, (г,_7 = 1,2) - заданные
величины, - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) инте-гродифференцирования порядка р с началом в точке а и с концом в точке у, определяющийся следующим образом [47, с. 9]:
ется задача определения потока тепла на торце полубесконечного однородного стержня, который в начальный момент времени имеет нулевую температуру [47, с. 160].
Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены
Краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными и со спектральным параметром посвящены работы Т.С. Алероева [1] - [3].
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка исследовались в работах В.К. Вебера и М.И. ИманалиОцуи + А их = апи + аі2ь, ЩУу — ^х = «21^ + а22У,
(0.1)
[ signм+1(г/ - а)|^В)ау М и > 0,
Г(.г) - гамма-функция Эйлера, [и - целая часть числа V.
В частности, к системе (0.1) с а — |, оц = а2 = «22 — 0 редуцируработы [25] - [27], [74], [75].

Таким образом, доказано, что условия (1.68), (1.69) являются необходимыми для того, чтобы у1~а,и}(х,у) Є С(Г2). Теорема доказана.
§ 5. Смешанная задача для системы общего вида
Рассмотрим задачу (1.64) - (1.67), в случае когда
Ьц Ьи
&21 ~Ьц
Ьг + 6x2^21 > 0- Пусть 2х и 22 - собственные вектора матрицы

В, соответствующие собственным значениям Аі = /6іі + Ь 12^21 и
А2 = — у/Ъх + 612621 > т0 есть
(.В - АіЕ)ц = 0.
(1.75)
Обозначим Z = \zij || матрицу, столбцы которой составлены из собственных векторов г и тогда В И = ZA*, или Z~1BZ — Л*, где Ах
Л* = * .Так как Ах ф А2, то матрица Z - невырождена, поэтому, сделав обратимую подстановку ъи(х,у) = Z\ul{x,y),Vl{x,y)\ = = Zw^(x, у), перепишем систему (1-64) в виде
У) + А*—чих{х, у) + СіїдіОг, у) = д(х, у),
(1.76)
” дх
где С = Z~lCZ, д(х,у) = Z~lf(x,y). При этом условия (1.65) - (1.67)
примут вид:
ІітНо^ 1г«х = Z 1<р(х), 0 < х < I,
У~уО
(1.77)