Задачи интегральной геометрии вольтерровского типа и преобразование Радона

• Автор: Бегматов, Акбар Хасанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 152 с.

Содержание
Введение

* Глава 1. Задача интегральной геометрии

с возмущением в трехмерном слое

§1.1. Задача интегральной геометрии на семействе

параболоидов. Формула обращения

§ 1.2. Постановка задачи интегральной геометрии

с возмущением. Вспомогательные сведения

§1.3. Вспомогательные утверждения

§ 1.4. Теорема единственности решения задачи

с возмущением 1.

Глава 2. Задачи интегральной геометрии
вольтерровского типа
§2.1. Постановка задачи интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости.
Канонический вид
§ 2.2. Единственность решения задачи на плоскости
§ 2.3. Задача интегральной геометрии вольтерровского типа <9 в трехмерном слое

Глава 3. Задача Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением
* § 3.1. Постановка задачи Радона с ограниченным диапазоном
углов и возмущением на плоскости
§ 3.2. Задача интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости и задача Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением
§ 3.3. Единственность решения задачи Ш.
§ 3.4. Полисингулярные интегральные уравнения с возмуще-
нием в трехмерном пространстве
§3.5. Преобразование Радона с ограниченным диапазоном
углов и возмущением в трехмерном пространстве
Глава 4. Восстановление поверхностей
по контурам теней
§4.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения.
Восстановление поверхности типа шапки
§4.2. Совместное восстановление двух поверхностей

Литература

ВВЕДЕНИЕ
Интегральная геометрия занимается изучением преобразований, ставящих в соответствие функциям на многообразии X их интегралы по подмногообразиям некоторого семейства М [28]. Эта актуальная и бурно развивающаяся область современной математики тесно связана с теорией дифференциальных уравнений и математической физикой, геометрическим анализом и имеет многочисленные приложения при математическом исследовании проблем сейсморазведки, интерпретации данных геофизических и аэрокосмических наблюдений, при решении обратных задач астрофизики и гидроакустики [30, 32, 53, 70, 72, 114]. Разработанные здесь методы являются основой для решения проблем из области медицинской и промышленной томографии [60, 61, 79, 109, 120, 122, 123].
Интегральная геометрия является одним из крупных направлений в теории некорректных задач математической физики и анализа. Основы теории некорректных задач были заложены в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [35, 53, 77, 78]). С ее дальнейшим развитием и многочисленными приложениями

производными обращается в 0 на параболоидах 'Р(х). Из определения функции до(х) (см. (1.2.8)) и (1.2.10) вытекает, что

Чо(*)=/ / (х,£)д(£,у)е!£(1у,
О Р(х)
где функция У зависит только от функции IV и ее производных. Лемма 1.1 доказана.
В этом параграфе приведем формулировки и доказательства лемм, которые будут использоваться при доказательстве основного результата главы — теоремы единственности решения задачи интегральной геометрии с возмущением в трехмерном слое.
Введем следующие обозначения:
1.3. Вспомогательные утверждения
(1.3.1)
(1.3.2)
если 0 < у < 1, если у > 1.
(1.3.3)
В пространстве переменных (хз, у) рассмотрим полуполосу