Задача Неймана для квазилинейных уравнений вариационной структуры

• Автор: Щеглова, Александра Павловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Задача Неймана для уравнения, порожденного теоремой вложения Соболева
1.1. Постановка задачи
1.2. Случай 1 < р <
1.3. Случай р
1.4. Некоторые обобщения
2 Задача Неймана в тонком цилиндре
2.1. Постановка задачи
2.2. Вспомогательные утверждения
2.3. Априорные оценки решения
2.4. Локальный и глобальный минимум
3 Множественность решений задачи Неймана с неоднородным граничным условием
3.1. Постановка задачи
3.2. (т, &)-радиальные решения в шаре
3.3. Множественность решений при больших Н
3.4. Множественность решений при больших д
3.5. Некоторые обобщения
Литература

Введение
Краевые задачи для квазилинейных уравнений и качественные свойства их решений привлекают большое внимание в последние десятилетия. Исследованиями в этой области занимаются, в частности, такие известные математики, как С.И. Похожаев, В.А. Кондратьев, L. Vcron, W.-M. Ni и другие.
Одно из простейших уравнений такой структуры — уравнение Эйлера для функционала, порождаемого теоремой вложения. В диссертации рассматривается задача Неймана для некоторых уравнений такого типа.
В первой главе изучается вопрос о постоянстве решения с минимальной энергией £{и) = ||Vit||n + |H|pi{J задачи
—Avu + ир~2и = uq~2u в О
я 0Л
gg =0 на <90
Если рассмотреть в ограниченной области О с R" задачу о нахождении точной константы в теореме вложения Wj](О) Lg(Q):
ир = inf И1!р+ NIp /02)
то минимайзер (после домножения на подходящую константу) является решением (0.1) с минимальной энергией £. Здесь и далее предполагается, что д < р*, где р* — предельный показатель вложения Соболева, то есть инфимум в (0.2) положителен.

Введем нормировку области Л, то есть замену Г2 —> вГ2. Тогда можно считать, что теаз(Г2) = 1, и изучать зависимость от параметра е решения с минимальной энергией задачи
Очевидно, что при заданных р ид константа не даст глобального экстремума в (0.3) при больших £. Вводя вспомогательные функционалы
можно переформулировать вопрос так: при каких е константа дает минимум функционалам Ор,ч,е и Зрл,е-
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть 1 <р<пид = р*. Тогда существует его = £о(я О) такое, что для любого £ < £о инфимум 0.Р,р’,Е достигается.
Вычисляя второй дифференциал функционала 3РЛ,Е на константе, легко получить
Предложение 1.2. Пусть 2 < р < д. Тогда постоянная функция не дает функционалу 3РЛ,е минимума (даже локального). Следовательно, постоянная функция не является решением (0.3) с минимальной энергией.
Поэтому содержательным является случай 1 < р < 2.
В §1.2 рассматриваются 1 < р < 2.
Теорема 1.2. При 1 < р < 2 и любых ц € (Р',Р*], £ > О постоянная ф>ункция доставляет локальный минимум функционалам 3РЕ и 0,Рд,е.
(0.3)

Известно (см. [34]), что = С(р,п), то есть (1.28) доказано. □
Покажем, что при достаточно малом т > 0 справедливо неравенство
0.2,2£сг{итр) < 22,2-,есг(1), где функции тег,0 определены в (1.27). Как известно, для единичного куба = тг2. Следовательно £ст(2*) = |у/п — 2 и
Й2,2-(1)
Из (1.28) следует, что значение 0.р1Р-х(ит,£п) тем меньше, чем меньше значение а. В случае куба наименьшее значение а реализуется, если £о совпадает с вершиной куба (например С) = 0), и равно 2~п. Поэтому
_ . 7гте(те — 2) /Г(те/2)"
а2,2
Таким образом, необходимо доказать неравенство
71п(п — 2)( Г(п/2) " 7г2(п — 2)
(п — 1)!
те = 4 это неравенство выполнено.
то есть Ь„ = пП//2 < 7г"2- Вычисления показывают, что при те = 3 и
(га-1)!
Далее, если те = 2к, то Ь2к = 2ккк Тогда
Ь2к+2 (л , 1*+1 к 3 1 Л 1* Зе
Ъ2к 1 + к) ' 2к + 1 ~ 2 ' 2 'V + к) ~ 4 < ?Г‘
Если п = 2к + 1, то Ь2к+1 = ~~ ' Тогда
(2*)!
2*г+1

Ь‘2к+з _ (2к + 3)+3/2 _ 1 2Л: + 3 , х [ _ <
62+1 2(2Л + 2)(2А: + 1Д+1/2 2 2£ + 2 2А: +1
1 / 1 5е
£2(1 + 4)е = ¥<,Г' °