Смешанные задачи для обобщенных уравнений Кортевега-де Фриза и Кавахары в полуполосе

• Автор: Сангаре Карим
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 151 с.

Введение
В настоящей работе рассматриваются нелокальные смешанные задачи в полуполосе п*т = {(/,*): 0 < г < Т, х > 0}

(Т-любое положительное число) для уравнения:

«; + «0)“ха = В Х^^,х,и))+ /(/,*, и) (1)

где и = и(/,х) а(г) > О ПОЧТИ всюду на (О, г), с граничными условиями

и(0,х)=и0(х), х>0, и(цО) = и,(?), О

и для следующего уравнения:

D:u-Dlu+bDlu + g(u)Dxu + g^(t,x)Dxu + g1(t,x)u = /(*,*) (3)

где Ь - вещественная постоянная; функция g имеет не более чем линейный рост по и -»±00; с граничными условиями: и{0,х) = и0(х), х>0, м(цО) = и,(г), их(г,0) = и,(г),0<г <Т (4)

Уравнение (1) обобщает известное уравнение Кортевега-Де Фриза (КдФ):

+“от =-°Ди%) (5)
Уравнение КдФ (5) описывает распространение . длинных одномерных волн на поверхности мелкой воды (см. [1]). Этот процесс является нелинейным и дисперсионным. Однако при необходимости учета наряду с нелинейностью и дисперсией других эффектов, как неоднородности рассматриваемой нужно вводить в уравнение переменные коэффициенты. Можно ввести, как в нашем случае коэффициенты, зависящие от времени.

Уравнение (3) является одним из обобщений уравнения Кавахары:
и, - П5хи + иих + аих + Ьи^ = /; а,ЬеЯ1. (6)
Уравнение (6) описывает длинные нелинейные волны в средах со слабой дисперсией (см. [2], [3], [4], [5]).
Основное внимание в работе уделено обобщенным решениям задач (1), (2) и (3), (4). Для таких решений устанавливаются результаты о существовании, единственности и непрерывной зависимости от граничных условий.
Введем некоторые обозначения.
Пусть О - область в Я" (вообще говоря, неограниченна), О. - ее замыкание, к- неотрицательное целое число. Через Ск (о) обозначим пространство к раз дифференцируемое на О функций, и(хи,..,хп), для которых каждую частную производную £>“и порядка а<к можно продолжить до непрерывной ограниченной функции на О. Здесь а -целочисленный мульт-индекс (а,,>0,|а| = а, +... + ап, 0°'
Оа = £>"' ..Л?-, ££ =—сама функция считается производная
нулевого порядка.
Пространство С”(о) определим как пространство функций, принадлежащих Скь (п) при любом к. Через С0"(о) обозначим множество бесконечно дифференцируемых на О функций с компактным в □ носителем.
Пусть а>0. Символом 5^ [я].) будем обозначать пространство функций и(х) ИЗ С”([0,+оо)), для которых при любом целом неотрицательном ш полунорма:

< СО.

Для любого Т >0, через С“(о,7';5“р>+) обозначим пространство бесконечно дифференцируемых в яу функций, к(цх), для которых при любьж целых к,т> 0 полунорма:

/ф,г|

< 00 .
Пусть I < р < СС . Символы Д (о), С°‘ (о) (множество функций, принадлежащих Д(я) для любого компактного множества К области
□ ), Й^(П), Я4(0) = йД(о), Я4(о) = Ж24(а), Я-Да) -пространство, сопряженное к Я4(о), используются в общепринятом смысле. Обозначим через 12+. пространство д(я|) и через Я* пространство
я4(д) (^ = (0,+«))
Через Д(Д) = Д+ обозначим пространство функций и(х), для
которых: в558ир|м(х)| < <*>

Через = ДД будем обозначать пространство функций
и(х) для которых
е^Бир(]м(х)|+^х(х)|+|г/^(х)|) <

Введем следующие весовые пространства: для некоторого а > 0. Через 1“ (о,-ко) = 1“ + обозначим пространство измеримых на (0,ко)
функций м(/,х), для которых:

ІНІ4 = Д*+Оа«2М^
< оо.
Далее, для любого целого £ > 0 черезЯ4(0,+ос) = Я4 + обозначим пространство функций и(х) е Я4 +, для которых:
Ня-(а^)=Х!И>||щ„,м<со

$2.2 Обращение левой части уравнения;
Справедлива следующая теорема:
Теорема 2.2: Предположим, что для некоторого Т>0:
1. a{t)> 0 почти всюду на [0,Т], а(г)е u{{t)eW^0,Г), (2.7)

Ци, (r)j a{r)dr < СО ДЛЯ некоторого Р >

2. Пусть, sup J(B(t)~ В{т$~Ъ/л f(l + |jc|)//j p(r,xjdxdr < СО (2.8)
'eI°-r]o I
Пусть U0(x) s
Тогда обобщенное решение задачи (2.1), (2.2) в смысле определения
2.1 существует и представляется в виде:
u(t,x)= k(t,x;a,p)+ j(t,x-,a,Uy)- j(t,x;a,k(.,0',a,p)) (2.9)
Где функции J и К определены равенствами (15),(16) соответственно. Доказательство теоремы 2.2:
Сначала докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 2.1: Пусть при некотором Т>0 выполнено условие (2.7) теоремы 2.2. Тогда функция j(t,x;a,p) определения (2.5) является обобщенным решением задачи (2.1), (2.2) при р = 0,р = и{ и
принадлежит Ьх(о,Т;Ь2 + ).
Доказательство леммы 2.1:
Сделаем замену переменных:

Пусть 5 = В(() = J a(z)dz

Рассмотрим следующую смешанную задачу:
l + J^ = 0 (2.10)
4=о=оД=о+о = «,(£ч(4^) (2.11)
Так как v,(.?)e /.,(0,7)), то из [10] следует, что: