Возмущение двухсолитонного решения уравнения Кортевега - де Фриза

• Автор: Лазарев, Владимир Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Возмущение двухсолитонного решения КдФ в случае различных значений амплитуд
1.1. Постановка задачи и формулировка результата
1.2. Асимптотика решения линеаризованного уравнения КдФ
1.2.1. Разложение по квадратам функций Иоста
1.2.2. Асимптотика двухсолитонного потенциала и функций Ф±, Ф* из разложения (1.16)
1.2.3. Асимптотика интеграла из разложения решения ЛКдФ
1.2.4. Асимптотика дискретной части разложения решения ЛКдФ
1.3. Доказательство теоремы
1.3.1. Доказательство теоремы 1 в случае <9МЕ[0] =
1.3.2. Доказательство теоремы 1 в общем случае
1.4. Частные случаи возмущения
ГЛАВА 2. Возмущение двухсолитонного решения уравнения КдФ с близкими значениями амплитуд
2.1. Постановка задачи и формулировка результата
2.2. Асимптотика двухсолитонного потенциала в случае близких значений амплитуд
2.3. Асимптотика решения линеаризованного уравнения
2.3.1. Асимптотика при е -а 0 функций Ф*,
2.3.2. Асимптотика интеграла из разложения первой поправки
2.4. Доказательство теоремы
2.5. Частные случаи возмущения
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Введение и постановка задачи. Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой аналитический аппарат для большей части математических моделей естествознания. В частности, теоретические исследования в механике и физике в значительной степени сводятся к исследованию дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения или системы, соответствующие точным моделям, оказываются, как правило, довольно сложными, что делает невозможным не только получение решения в явном виде, но и сколько-нибудь эффективный качественный анализ. В этом случае их стремятся упростить, редуцировать к интегрируемым, пренебрегая теми или иными малыми эффектами. После решения упрощенных уравнений или систем возникает естественный вопрос об анализе более точной модели, включающей отброшенные малые эффекты. Вопросы такого характера составляют содержание теории возмущений дифференциальных уравнений.
Мерой малости обычно служит параметр 0 < е <С X, который может входить как в исходное уравнение, так и в краевые условия. Члены с множителем е в уравнении обычно называют возмущением, а уравнения, содержащие такие члены возмущенными уравнениями. Литература, посвященная уравнениям с малым параметром довольно обширна, отметим, например, монографии [5, 6, 7, 10, 14, 16, 40, 39, 42, 43, 44, 60].
Открытие в 1967 году [58] метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) позволило проинтегрировать ряд дифференциальных уравнений в частных производных, таких как уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Эт-Гордон и другие. Это послужило источником для постановки новых задач и в асимптотической теории [9, 11, 15,

25, 31, 32, 41, 59, 57, 62].
В диссертации исследуется проблема возмущения солитонов на примере уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Точнее, рассматривается задача Коши для уравнения КдФ, возмущенного малой добавкой в правой части:
щ + 6иих + иххх = eF[u]} t > 0, 0 < е < 1. (1)
Оператор F[u] - гладкая (бесконечно дифференцируемая) функция отии от конечного числа ее производных; F[0] = 0. Начальные данные выбираются в виде двухсолитонного потенциала:
u|tSB0 = C/(*;S,B). (2)
S, В — параметры потенциала, постоянные векторы.
Уравнение КдФ возникает в различных областях физики, например, в гидродинамике, физике плазмы, теории волн. Члены с множителем е в правой части уравнения (1) соответствуют малым возмущениям, неизбежно присутствующим в реальном физическом процессе, например, малая диссипация, медленно меняющаяся глубина [13, 46].
Пример. Проблемы, которые возникают при построении асимптотического решения (АР) и(х, £, е) в задаче (1),(2), и способы их разрешения обсудим на примере обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрим уравнение линейного осциллятора с малым трением:
lift + w2u = —2£щу 0 < е дополненное начальными данными:
и(0) = а, щ(0) — 0. (4)
Для возмущенного уравнения (3) с начальными данными (4) можно написать точное решение:
u(t,e) — ехр(—st)[a cos(Voj2 - e2t) -—, £а sin (-у/о;2 — e2t). (5)
V си2 - eL

1) в j-ом солитонном секторе, где г), < е (j = 1,2):
J(x,T- B,S,e) = &х+(^,0;В) Y. / fk{p,0)Sign(ejk{T) - p)dp+
Ze k—о

+ o(e ' )
2) в j-ом секторе хвоста :
J(x; В, S, e) = Tj(£; В) + 0(е1/3), £ = еж;
3) e секторе обрыва солитонных хвостов, где |?7з| < е-1/3 :
j(*,r;B,s,e) = /0(4|iî|| + O(£V3).
4) в облает,и перед первым солитонпым сектором щ +оо интеграл J
экспоненциально убывает:
J = 0(ехр(—7?/i)), 7 > 0.
Эта асимптотика - гладкая и равномерная по х.т в слое х G R, £2/3 < т < то, дифференцируемая по параметрам В, S (с учетом rjj = KjX —
Пояснение 1. Коэффициенты асимптотики определяются через исходные данные из следующей цепочки формул:
В) = г; В) + cidxxi{fh, 0; В);
J2(rç,r;B) = I2(v, г; В) + 0; В) + xt{V, 0; в)Фётти + ^’30)
+Ш1{6п(Т))^4, к] ехР(2Л^/«г)]|*=о;
г / D , 1 о Г dk XÎinMB) î n 2ikrj
Шг;В) = (Г+*ор'4м + ^/Д ,г)ехр(ДЛ); { }
■/)(?: в) = е Н°;М#- f1-32)

4«п(9п(£)) ’
Jq(t^) является первообразной функции Эйри:
Jo(rf) = l + -[ — sin(jj2 + г3).
7Г •/-°о