Вихревые особенности оптимальных стратегий в задачах поиска

• Автор: Локуциевский, Лев Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с. : ил.

Оглавление
Введение
Общая характеристика работы
Содержание диссертации
1 Вихревые особенности в п-мерном многообразии
1.1 Постановка задачи
1.2 Вихревые особенности и их простейшие свойства
1.3 Вихревые особенности оптимальных стратегий на п-мерных ри-
мановых многообразиях
2 Оптимальные стратегии на двумерном многообразии
2.1 Особенности оптимальной стратегии в случае двумерного многообразия
2.2 Класс двумерных логарифмических спиралей
3 Теорема существования в одномерном случае
3.1 Переключения в стратегиях в одномерном случае
3.2 Свойства траекторий со счетным числом переключений
3.3 Существование оптимальной стратегии в одномерном случае
4 Асимптотика оптимальных стратегий вблизи вихревых особенностей
4.1 Накопление переключений в оптимальном решении в одномерном случае
4.2 Асимптотика переключений в оптимальной траектории
4.3 Примеры

Введение
Общая характеристика работы
Теория дифференциальных игр возникла в шестидесятые годы прошлого столетия, и практически сразу оформилась как самостоятельная дисциплина. Причиной этого можно считать высокий интерес к обобщению теории дискретных игр на непрерывный случай. Основателем теории дифференциальных игр является известный американский математик Р. Айзекс. Он развил идеи Дж. фон Неймана и Д. Моргенштерна, вложенные ими в теорию дискретных игр и предложил следующую постановку задачи (см. [1]): пусть в игре участвуют два игрока, преследующие различные интересы. Назовем их Р и Е. Их фазовые координаты х(£) и у(£) из некоторого аффинного пространства К" подчиняются следующим уравнениям:
Г X = <р(х,у,и),
у = (х,у,у),
где и и V - их управления, а функции Основной принцип, использовавшийся Р. Айзексом при решении конкретных задач и построении общей теории заключался в том, что игроки Р и Е выбирают свое управление независимо друг от друга и исходя только из текущих фазовых координат игры, не используя ни предшествующую историю игры, ни управление, выбираемое противником в данный момент времени:
гх(£) = гг(ж(£),у(£)), и(£) =ь(х(г),у(Ь)).
Такая постановка содержит очевидные недостатки, однако в ряде конкретных случаев дает неплохие результаты. В последствии постановка задачи, предложенная Р. Айзексом, была многократно пересмотрена и модернизирована многими известными математиками.
Цели преследуемые игроками в каждой конкретной игре могут быть различными. Например, в игре преследования игрок Р старается догнать игрока

Е, то есть старается достигнуть состояния игры ||(t) — у(£)|| < R, игрок же Е наоборот пытается избежать данного состояния. Итак результат в игре преследования - это возможность или невозможность поймать игрока Е. Однако, оценивать такой результат очень не удобно в силу его дискретности, поэтому обычно рассматриваются другие критерии, например:
1. Игрок Р старается минимизировать время поимки, а игрок Е, соответственно, максимизировать.
2. Игрок Р старается минимизировать расстояние ||ж(£) — у(£)||, а игрок Е, соответственно, максимизировать.
Естественно, теория дифференциальных игр не ограничивается приведенной выше игрой преследования, а включает в себя широкий спектр задач, таких как линейно квадратичные игры (см. [8]), позиционные игры (см. [13]), игры с линией жизни (см. [22]) и многие другие (см. [1, 23, 25]), находящие частое и обширное применение в экономике, военном деле и т.д.
Теория дифференциальных игр тесно связана с теорией оптимального управления, и поэтому при различных исследованиях в этой области часто используются методы вариационного исчисления и принцип максимума Понт-рягина (см. [2, 10]), условия экстремума в вырожденных случаях (см. [5]), выпуклый анализ (см. [20]) и методы линеаризации (см. [19, 21]).
Сейчас в теории оптимального управления бурно развивается теория чет-теринг режимов (см. [31]). Простейшим примером может служить задача Фуллера (см. [31]): массивный шар движется по прямой под воздействием внешней ограниченной по модулю силы. Эта сила служит управлением. Требуется остановить шар в точке 0 - начале координат, минимизировав при этом среднеквадратичное отклонение от 0:

/ х1 dt —> min, о
ж(0) = х0, х(0) = уо, х{Т) = 0, х(Т) = 0,
X = и, |м| < 1.
В отличие от задачи быстродействия (в тех же условиях необходимо минимизировать время достижения точки 0: Т —> min), оптимальная траектория в простейшей задаче Фуллера достигает начала координат за конечное время, но при этом совершает счетное число переключений, накапливающихся к началу координат. Такое поведение оптимальной траектории является характерным для задач в теории четтеринг режимов.

взять, например, первый момент времени, в который игрок Р покинет отрезок [£7(to); 7£7(to)]- То есть
("Tio(')) < + (-тОт))
Осталость воспользоваться тем, что траектория 7(f) является липшице-вой, и, значит длина отрезка [£7(io); 7?-7(fo)] не превосходит io- П
Построим теперь последовательность траекторий {7(f)}£li: 7х = 71, и для любого п > 2 положим 7) = 7jl_1 Согласно Предыдущей лемме, имеем

Воспользуемся леммой 3.1: для каждого п в качестве io возьмем 0(7["+11(.)) и найдем ап такое, что
7К1](7 _ ап) = 7lnl(i), при i G [6»(7[гг](-)); +оо)
Как было показано ап < $(7(')) — 0(7n+1k')) уЬт- Зафиксируем теперь момент времени i > 0. Очевидно, существует N такое, что f > 0(7[П](О) для всех п > N. Это означает, что
Vf > 0 3N : Vn > N Vf > t 7W(f) = тИ-1)(£ - «„),
но все траектории 7(f) являются липшицевыми, значит |7ln+1(i) — 7H+1](i
— &n) | < oin. Таким образом
Vf> tVn>N |TM(t)_7H-4(t)| Теперь определим насколько отстоят друг от друга в точке f далекие по номеру траектории:
Vt > t Vn > лг Vp > о 17W(t) - 7‘”+р|(«)1 < E =srr <

Это означает, что последовательность функций 7(-) сходится равномерно на любом промежутке [Г; +оо) С (0; +оо) к некоторой функции 7(-). И, в том числе, получаем, что
Vf >.0 Э lim 7W(f)=7(*).
П—>+0О