Осцилляционные свойства решений некоторых классов уравнений эллиптического типа

• Автор: Добротвор, Игорь Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 84 c. : ил

Глава I. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И КОЛЕБЛЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Е? . •
§ I. Уравнения с бигармоническим оператором
§ 2. Уравнения с полигармоническим оператором
Глава II. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И КОЛЕБЛЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЕГ
§ I. Уравнения с бигармоническим оператором
§ 2. Уравнения с полигармоническим оператором
Глава III. КОЛЕБЛЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С
ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ I. Однородные нелинейные уравнения
§ 2. Неоднородные нелинейные уравнения
ЛИТЕРАТУРА
I. Появление классических результатов Ж.Штурма [531 в 1836г. считается началом исследования вопросов о нулях решений дифференциальных уравнений. В работе рассматривались уравнения
/0.1
+ ***• /о,2
где и установлено утверждение, носящее сугубо локальный характер. Более полно сформулировал М.Пиконе его в 1908 г.
Теорема 0.1 [50] /Штурма-Пиконе/. Пусть
pH) ^ ст), а(ь)> кМ на («,/3)
Тогда, если /0.2/ имеет решение такое, что ото любое решение Ш) уравнения /0.1/, линейно независимое с № , имеет хотя бы один нуль на (<Ч
С 40-х годов XIX столетия развивается ветвь учения о колебаниях, которую принято называть теорией осцилляции решений дифференциальных уравнений. Здесь важным является выбор исходных определений.
Определение I. ГЗЗ] Уравнение /0.1/ называется осцилляционным на оо , если каждое его нетривиальное решение имеет нуль в каждом интервале [с* ,оо] . Уравнение /О Л/ называется неосцилляционным на оо , если некоторое нетривиальное ре-

шение имеет конечное число нулей на интервале вида
Важный результат - условие колеблемости для уравнения /0.1/, отличный от теорем сравнения, был получен У.Лейтоном. Теорема 0.2 [43]
то уравнение /0.1/ осциллирует на со
Интерес к вопросу о колебательных: свойствах дифференциальных уравнений поддерживался тем обстоятельством, что он непосредствен но связан с проблемой единственности решения, например, следущей краевой задачи
которое будет единственным/для больших < и если известна
неколеблемость уравнения /0.1/ [8]
Имеются различные понятия осцилляции решения. Для обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее распространенные следующие: осцилляционность в точке /в качестве которой, как правило, берется +-с*0 / и осцилляционность в промежутке. И.Т.Кигурадзе, а также В.А.Кондратьев формулируют их следующим образом.
Определение 2. [Ъ-г Ненулевое решение
уравнения
в точке +оо , если оно имеет последовательность нулей, сходящуюся к + с>о . в противном случае оно называется неосцилляционным /или колеблющимся/.

/0.3
где ^ (і, 0,,0,называется осцилляционным /или колеблющимся
УЧ^ІсЖ <оо ( о <&.<<*

Тогда для решений Фк , К = 1,2, системы /2.27/ выполняются соотношения /2.12/ с корнями Xк (Ю уравнения /2.13/.
В случае & > 0 уравнение /2.13/, которое мы перепишем в
виде
>? + +ё=0 /2.29
имеет два комплексных /не действительных/ корня для больших Р . Тогда
илт;Хо,ьл=
я-*°°

где и £2- некоторые числа, не равные одновременно нулю. После несложных преобразований получаем
^К^№;х.,10=|£2В«п(рГр4о+^),
Если & 0 , го уравнение /2.29/ имеет пару вещественных
корней + & , имеем

=+$гехр](^_(^-ё)сЙ'