Обобщенные антагонистические дифференциальные игры

• Автор: Алексейчик, Михаил Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 124 c. : ил

1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

1.1. Точечно-множественные отображения

1.2. Хаусдорфовы уклонения и пространства подмножеств

1.3. Основные рабочие пространства

1.4. Динамические системы

1.5. Элементы абстрактной теории стабильных отображений

1.6. Дифференциальные включения

2. ОБОБЩЕННЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ

2.1. Формальное определение ОАДИ

2.2. Множество Б как векторная решетка

2.3. Формальное вложение множества КАДИ в множество ОАДИ

2.4. Функции с!" и их содержательная интерпретация
2.5. Некоторые свойства отображений А и В
3. СТАБИЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СТАБИЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА И СТРАТЕГИИ КАК РАВНОПРАВНЫЕ СРЕДСТВА ОПИСАНИЯ ОАДИ
3.1. Стабильные отображения и стратегии
3.2. Оценка
3.3. Р - инвариантность и другие свойства стабильных отображений
3.4. Стабильные множества и их взаимосвязи со стабильными отображениями и стратегиями
3.5. Структурные свойства стабильных множеств
3.6. Топологические свойства стабильных множеств
3.7.Альтернатива
4. СТРУКТУРНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЯ ОАДИ
4.1. Верхнее и нижнее значения ОАДИ
4.2. Структурные свойства функций ТУ“

4.3. Топологические свойства функций U
4.4. Теорема существования и ее декомпозиция
4.5. Топологический свойства значения
4.6. Структурные свойства значения
4.7. О связи ОАДИ с КАДИ и ЗОУ
4.8. К дальнейшему развитию теории ОАДИ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Теория антагонистических дифференциальных игр предназначена для описания и исследования управляемых процессов в условиях неопределенности и конфликта. Своим становлением эта теория обязана Р.Айзексу, Н.Н.Красовскому и Л.С.Понтрягину. Важный вклад в теорию антагонистических дифференциальных игр внесли П.Варайя, А.Б.Куржанский, Дж.Лин., Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, Л.А.Петросян, Г.К.Пожарицкий, Б.Н.Пшеничный, А.И.Субботин,
У.Флеминг, А.Фридман, Ю.Хо, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько. В настоящее время теория антагонистических дифференциальных игр представляет собой уже вполне сложившуюся область математики, располагающую значительным запасом накопленных фактов и обладающую большими возможностями для дальнейшего развития.
Данная работа посвящена систематическому изложению нового подхода к теории антагонистических дифференциальных игр, основанного на концепции обобщенной антагонистической дифференциальной игры. Обобщенная антагонистическая дифференциальная игра (ОАДИ) трактуется как пара скалярных функций Ы,^) . Функция определяет выигрыш на траекториях игры. Функция с(. ,задаваемая аксиоматически, оценивает локальные способности "обобщенных игроков" по управлению эволюцией игры. По своей роли в ОАДИ функция с1 аналогична гамильтониану в "классических" антагонистических дифференциальных играх (КАДИ).
Трактовка антагонистической дифференциальной игры как пары скалярных функций сопряжена с некоторыми трудностями при построении развернутой формы игры. Однако эти затруднения совершенно несопоставимы с тем огромным преимуществом, которым сопровождается переход от КАДИ к ОАДИ и которое скорее продемонстрировано, чем исчерпано в данной работе. Установленные ниже результаты позволяют надеяться, что внедрение концепции ОАДИ в теорию

Теорема 3.3. Пусть с( в В, Р,С е ф(<Ь, Ув 80((1).
Тогда справедлива импликация
х#|[0,у е (■Ь*) =* (У* (А) = (з.бз)
=“ В(Р*(Ю,в1,Р)), уА е[-А»,Ш.
Исчерпывающее описание стабильных отображений в терминах стратегий дает
Теорема 3.4. Пусть с! е Л, Р 6 Ф(о1) . Тогда для отображения V , подчиняющегося требованию (3.1), равносильны следующие утверждения : (а) У € 8Р (с!) ; (б) имеет место импликация (3.63); (в) для любых , удовлетворяющих условию
£*1[0,£#] в /+ ("Р#), Ь в и*,1] ,найдется стратегия Р в , такая, что У±(А.) и#,®*,В(Р,(1,Р)) ;
(г) справедлива импликация
(х*|[0,У еУуУ, Р"е £Р, * е[1#)1])=»
^ У.)ДА*, X* , В (Р , с1 п Ч^({)Ф0. (3.64)
Доказательство. Импликация (а) ==> (б) объясняется теоремой 3.3 , а импликация (б) =Мв) очевидна.
Установим (в) =Ф(г). Согласно теореме 3
у а*, ж*, в (р, у)) п ун.,®,, вида»* «с
Отсюда в силу утверждения (в) получаем неравенство (3.64).
Проверим (г) =т> (а). Полагая в утверждении (г) Р" - (е} и учитывая соотношение
У(В(-е,<Г,Р)) = У(А(е,В,Р))<= Х(А(е,«1П)),
приходим к (3.2). ( Использованное только что соотношение вытекает из тождества (2.17), леммы 2.2 и предложения 1.28 (г) ).
Важное свойство стабильных отображений, выражаемое следующей теоремой 3.5 , будем называть Р -инвариантностью.
Теорема 3.5. (<{ е Й, &И в Ф(с1)) => 8&Ы)-8Р(с1).