Смешанные задачи с интегральными условиями для волнового уравнения

• Автор: Бейлин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 111 с.

1 Смешанные задачи с интегральным условием для волнового уравнения

1.1 Смешанная задача с интегральным условием на плоскости

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Доказательство единственности обобщенного решения

1.1.3 Доказательство существования обобщенного решения

1.2 Смешанная задача с нелокальным условием для волнового

уравнения с п пространственными переменными

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Доказательство единственности обобщенного решения

1.2.3 Доказательство существования обобщенного решения

2 Смешанная задача с нелокальным интегральным условием для уравнения колебаний струны
2.1 Постановка задачи
2.2 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным
левым концом
2.2.1 Доказательство единственности решения
2.2.2 Доказательство существования решения
2.3 Задача для уравнения колебаний струны с закрепленным
правым концом
3 Задача для уравнения 5
3.1 Постановка задачи
3.2 Доказательство единственности решения
3.3 Доказательство существования решения
Литература

Современные задачи естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. Как отметил А.А.Самарский в обзорной статье “О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений” [50], одним из таких классов качественно новых задач являются как раз нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.
Нелокальными задачами принято называть такие задачи, в которых вместо классических начальных и граничных условий, или вместо некоторых из них, задаются условия, связывающие значения решения (и, возможно, его производных) в точках внутренних и граничных многообразий.
За последние несколько десятилетий в математической литературе появилось значительное количество публикаций, посвященных исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений. Большую роль в развитии этого направления сыграла статья А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [2], в которой были предложены новые постановки задач для эллиптических уравнений.
Исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений
1.2 Смешанная задача с нелокальным условием для волнового уравнения с п пространственными переменными
Применяя неравенство Коши, получим: т (
Ко J J |иОМ)| J J и{£пт)(К1(1т(18(И <
о ап он
< А’о J У | и2(®,<)+ Т|П| J J и2(£,т)(1(;(1т 1 (1в(И = о ап о п
т т
= Ко J J v2(■x,t)dsdt + КоТ2,\д^ j J и2(х,£)(1хсИ (1.65) о ап о п
и, таким образом,
~ У (|7г>(ж, 0)|2 + и2(х, т)) йх<И < п
Т Т
< Ко У У и2(а;, 4)Й5(Й +-КоТ2|П||сЮ| У У и2(х,Ь)(1х(И. (1.66) о ап о п
Применим теперь к оценке интеграла по границе области неравенство [28]:
J v2(x,t)ds <^ (е|Уг>|2 + с(е)г>2) (1х. дп п
Тогда, обозначив Т = Т2|Г2||Ш|, получим:
/(|Уф,0)]Ч»’(*,г))*Л<

< Ко У У (е|Уг?|2 Ч- с(гг)г»2 + /^г/2) (1.67)
о п
Из (1.62) непосредственно следует, что
V2 = I У и(ж, Т])с1т) I < Т J и2(х,Т])(1т],