Асимптотические разложения собственных элементов оператора Шредингера с возмущением, локализованным на малом множестве

• Автор: Бикметов, Айдар Ренатович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 92 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Сходимость решений и собственных элементов возмущенной краевой задачи для оператора Шредингера с большим потенциалом, локализованным на малом множестве
§1. Сходимость решений возмущенной задачи
§2. Сходимость собственных элементов возмущенной задачи
Глава 2. Полная асимптотика собственных элементов возмущенной задачи в трехмерном случае
§1. Формальное построение первых членов асимптотик
§2. Внешнее и внутреннее разложения
§3. Построение полных асимптотических разложений
§4. Обоснование асимптотических разложений
Глава 3. Двучленная асимптотика собственных значений возмущенной задачи в п-мерном случае
§1. Асимптотики в случае п >
§2. Асимптотики в случае п
Литература

Введение
Асимптотические методы занимают важное место в теории дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что задачи, рассматриваемые в теории дифференциальных уравнений, в подавляющем большинстве не имеют явного решения в виду сложной зависимости от числовых и функциональных параметров, входящих в эти задачи. Однако правильное описание решения или нахождение приближенного решения можно существенно упростить, если известно, что некоторые из параметров очень малы, либо, наоборот, велики. Для решения таких задач привлекаются асимптотические методы. Асимптотические методы решения задач, как правило, связаны со спецификой рассматриваемой задачи. Одним из классов задач, которые успешно решаются применением асимптотических методов являются сингулярно возмущенные задачи. Такие задачи описывают многие реальные модели окружающего мира. Этим они интересны для исследователей-физиков. Значительный вклад в развитие асимптотических методов в теории сингулярно возмущенных задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Н. Н. Боголюбов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылынин, Ю. Д. Головатый, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Калякин, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, Л. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, Ю. А. Митропольский, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, Б. И. Сулейманов, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев и многие другие (см., например, [1], [2], [6] - [13], [15] - [20], [23], [26] - [30], [32], [34], [38], [39], [41], [42], [46], [50], [47], [55], [56], [62], [63], [72], [77], [79]). Одним из типов сингулярно возмущенных задач являются задачи, решения которых не могут быть описаны при помощи только одного

асимптотического ряда. Для полного и правильного описания решения требуется построение нескольких асимптотических рядов. Такого типа задача исследуется в данной диссертационной работе.
В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Шредингера в ограниченной области. Практически во всех задачах, рассматриваемых в диссертации, возмущение описывается потенциалом, который зависит от малого параметра є таким образом, что при є —> 0 мера носителя потенциала стремиться к нулю, а значение потенциала неограниченно растет. В последнем параграфе заключительной главы, рассматривается случай, когда возмущение - потенциал, принимающий конечные значения. С физической точки зрения, рассматриваемая задача, в зависимости от знака потенциала, соответствует или задаче о потенциальной яме или задаче о потенциальном барьере с бесконечно высокими стенками. Цель работы - построение асимптотических разложений собственных значений и соответствующих собственных функций для рассматриваемых задач. То есть, в диссертации проводится исследование дискретного спектра оператора Шредингера, с указанным выше возмущением.
Изучение дискретного спектра стационарного оператора Шредингера, возмущенного малым потенциалом, на оси и плоскости - классическая задача математической физики. Исследованию такой задачи посвящено достаточно много работ. Выделим лишь основные.
В книге [37] авторами рассмотрена задача о возмущении оператора Шредингера малым потенциалом на оси. На физическом уровне строгости авторами вычислены асимптотики собственных значений и соответствующих собственных функций. Математически строгие результаты для задач на оси и плоскости были получены в работах [66], [67], [78]

где Л0,0 — 0. Тогда при X, близких к Ао, для решений краевой задачи (0.2) имеет место представление

,є,р+я

+ иЕ,
(1.56)
где Ае,р+1
\п%<СШ- (1-57)
Доказательство. Из условия доказываемой леммы, пункта 1) теоремы 0.1, а также равенства (1.45) следует представление (1.56), в котором

(Л,е,в)

ф‘-+ Е
(Фе,фЄ’В) Xе*
ф£’3.
(1.58)
в=1 ' ' ’ ’ Я=р+ 1-I
Из (1.58) и ортонормированности в Ь2(ГІ) системы '0£’я, 5 = 1,2
Установим справедливость оценки (1.57) для йе. В силу ортонормиро-о
ванности в ЖД) системы (1.43) из представления (1.58) следует
(Л, ФЕ’3)

А£’5 - А

А£’5
(1.59)

А‘-'+ е
з=р+Ц-ЛГ
Очевидно, что при А близких к Ао существует число о > 0 такое, что для любых достаточно малых е выполнено неравенство
|Аг’5 - А| > а, в ф р+ 1
(1.60)