Управляемость и необходимые условия оптимальности в нелинейных гиперболических задачах

• Автор: Ампини Дьедонне
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 О СУЩЕСТВОВАНИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
§ 1 Предварительные сведения
§2 Основные операторы
§3 Постановка задачи
§4 Существование оптимального управления
2 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
§ 1 Теоремы о разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения
§ 2 Постановка задачи
§ 3 Дифференцируемость функционала
§ 4 Необходимые условия оптимальности
3 О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
§ 1 Предварительные сведения. Обозначения

§ 2 Формулировка основного результата
§ 3 Строгая дифференцируемость оператора Немыцкого
§ 4 Завершение доказательства основного результата
4 О ЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ТЕРМИНАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ
§ 1 Предварительные сведения. Обозначения
§ 2 Оценка нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи
§ 3 Оценка нелинейных добавок в операторах обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи
§ 4 Оценка нелинейных добавок в операторах для обратной задачи
БИБЛИОГРАФИЯ

Введение
В диссертации исследуются сначала вопросы управления нелинейными гиперболическими уравнениями, а именно, существование оптимального управления и необходимые условия оптимальности для одной нелинейной гиперболической задачи. А затем исследуется локальная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для квазилинейного гиперболического уравнения, которую можно рассматривать как задачу управляемости, где управлениям являются граничные условия.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Задачи управления объектами, описываемыми нелинейными гиперболическими уравнениями и системами, встречаются в различных областях науки и техники, имеющих дело с колебательными процессами. Поэтому исследования по этим задачам ведутся давно и интенсивно продолжаются в настоящее время. В диссертации предполагается использовать современные достижения по нелинейному функциональному анализу применительно к задачам управления, связанным с квантовой механикой, а также к общим задачам управляемости нелинейными гиперболическими системами. Изложение естественным образом разделено на четыре части.
В первой главе доказано существование оптимального управления для одной нелинейной гиперболической задачи. Используется априорная оценка из [18], которая позволяет выделить из минимизирующей последовательности управлений и соответствующей последовательности решений слабо сходящиеся под-
I, = | | р |и° |р 1 • и° • Ф° 6и 60 ах А + °( 18и1Н1(дт)) =

= р | |и°|р_1 |и°| Ф° 8и 6х А + о( 118и|1н1(дт)) =

= р | | и” |р Ф° 8и 6х А+ о (|| 8и||н,((3т)).

Аналогичным образом, преобразуя 12, получим
12 = | ( |нЕ1Р - |и°|р ) 8и Ф° с!х Л =

= | [ | р К Г1 (8и)2 ае]Ф° ах а =

= р | |и° Г1 (8и)2 ф° ах аг = °(118и11н,(дт))-

Учитывая это и используя формулу для 13, получим для I выражение
I - I, + 12 + 13 = р | |и° |р 8и Ф° 6х 61 +

+ | |и°|р 5и Ф° ах 61 + о (|| Зи Ин1((Эт)) =

= (р +1) | |и° |р 8и ф° ах аг + °(|| 8и ||Н1((гт)),

и тождество (2.19) примет вид
Г (8и)(Ф; 6х 61 - Г (У(8и) , УФ°) 6х
От От
- ( р + 1) | | н° |р 8и Ф° 6х 6г +

+ [ 8|/(х) Ф°(х,0) 6х + [8£(х,1) Ф° 6х 61 = 0.

Тогда формула (2.15) приращения А1 примет вид
А1 = | [ Ог(и*, Г, <р°, Vе) 8£ + D(/)(u°, Г, <р ¥°) Ь<р +

+ БДи0, Г, (р°,|/°) 8|/ ] 6x61 + | Пи (и°, Г, (р°, ]/°) 8и 6х 6г