Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой

• Автор: Давидюк, Галина Павловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 137 c. : ил

I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИРРЕГУЛЯРНОЙ

ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

1.1. Некоторые вспомогательные утверждения, результаты и обозначения

1.2. Асимптотическое расщепление однородной системы линейных дифференциальных уравнений

1.3. Расщепление неоднородной системы на подсистемы меньшей размерности

1.4. Построение решений для системы линейных дифференциальных уравнений

1.5. Случай дробного ранга иррегулярной особой точки

П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ИРРЕГУЛЯРНОЙ

ОСОБОЙ ТОЧКОЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

2.1. Предварительные замечания

2.2. Расщепление однородного уравнения

2.3. Асимптотические оценки приближенного расщепления
2.4. Расщепление неоднородного дифференциального уравнения
2.5. Построение частных решений неоднородного
уравнения
2.6. Построение решений при наличии кратных собственных значений
2.7. Случай сходимости решений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

На первых исторических этапах изучения дифференциальных уравнений основной целью являлось получение точного решения через элементарные функции. Но это оказалось возможным лишь в частных случаях. Большинство задач, с которыми сталкиваются физики, инженеры и специалисты в области прикладной математики имеет ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. В этих случаях для получения информации о решениях дифференциальных уравнений вынуждены прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений наряду с численными методами важное место занимают асимптотические методы возмущений, о чем свидетельствует эффективное применение их при решении многих задач в различных областях физики, математики, механики [5.8,35,38, Н].
В основу методов возмущений положены асимптотические разложения по большим или малым значениям параметра или координаты. Согласно этим методам решение задачи представляется несколькими членами асимптотического разложения. И, хотя, во многих случаях эти разложения являются расходящимися, тем не менее приближенное решение оказывается весьма пригодным для практических расчетов, выяснения качественных особенностей, а так же для получения асимптотик и анализа особых точек.
Развитие асимптотических методов в теории дифференциальных уравнений происходит по двум направлениям. Первое направление исследований связано с изучением решений дифференциальных уравнений при стремлении параметра /большого или малого/, входящего в уравнение или систему уравнений, к своему предельному значению. Последнее является предметом изучения регулярной и сингулярной

теории возмущений по параметру, развитию которой посвящены работы Крылова Н.М., Боголюбова H.H. [^7] , Митропольского Ю.А.
[51)] , Боголюбова H.H., Митропольского Ю.А., Самойленко А.М. [З]у Тихонова А.Н. fee] , Васильевой А.Б., Бутузова В.Ф. [НО], Федо-рюка М.В. [68] Ломова С.А. [52] Фещенко С.Ф., Шкиля Н.И., Николенко Л.Д. [ 69], Шкиля Н.И. и его учеников [ 63,79-ЗУ, Маркуша Й.И. [53]^ Сотниченко H.A., Фещенко С.Ф. [58‘60], Вайнберга М.М. и Треногина В.А. [7] , Далецкого Ю.А,-, Крейна С.Г.[2б'28]^Вишика М.И. и Люстерника Л.А. [Ц] , Като Т. [36], Найфэ А.Х. [55] t Грачевой Г.С.[43'й] и др.
Второе направление исследований связано с изучением поведения решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек /обычно это точки 0 или 00 / независимой переменной. В общей теории возмущений задачи этого направления относятся к разделу задач на возмущение по переменной. На обзоре литературы по этому направлению остановимся более подробно.
Так как в большинстве представлявдих интерес уравнений с особенностями эти особенности имеют место при ОС = 00 , то
в общей теории особых точек эту особенность принято помещать в точку X = . Тогда, в согласии с терминологией теории аналитических функций, поведение дифференциального уравнения на бесконечности определяется как поведение дифференциального уравнения при Z= 0 , полученного преобразованием Z = ~zr *

Мы будем рассматривать только такие дифференциальные уравнения в окрестности особой точки, іде оператор по переменной имеет полюс или асимптотическое степенное представление. Линейное уравнение, имеющее полюс в начале координат, может быть записано в виде
- ЬЩ.
(I)

вида
:h^-t*A(tM+Z,(U)em‘e) d.3.89)
=i}M,s)iL , L=2j . (1.3.30)
1,4. Построение решений для системы линейных дифференциальных уравнений
В данном параграфе рассмотрим вопрос построения общего решения для системы (I.I). Предполагаем, что матрица Jоа имеет
В0Я 7, / . / 1 IX
Д» = dia§(Xt ( Хг,... (jA,) (1.4.0)
1.4,1. Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений
На существование формального решения системы дифференциальных уравнений
(1.4.1)
указывает
Теорема 1.5. Если матрица J0Q имеет вид (1.4.0), то система дифференциальных уравнений (І.4.І) имеет общее формальное решение
х ‘ и и, %)в а,г) > (1.4.г)
где матрица Шл) удовлетворяет уравнению
іі-^-ҐА(и)й(іл) , (1-4.3)