Некоторые типичные особенности решений нелинейных уравнений математической физики с малым параметром

• Автор: Сулейманов, Булат Ирекович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 223 с.

Оглавление
Введение
2 Специальное решение уравнения ихх = гг3 — 1и + х.
2.1 Сборки и контрастные структуры типа ступеньки
2.2 Вспомогательные леммы
2.3 Асимптотика при х —> оо для ограниченных £
2.4 Равномерная асимптотика при 1 <
2.5 Равномерная асимптотика при £ >
2.6 Итоговое описание равномерной асимптотики
3 Решение уравнения Абеля их = н3 — Ы + х. Существование. Дифференцируемость по х и £. АР при х —» оо и фиксированных £ . АР при £ —* — оо.
3.1 Вспомогательные леммы
3.2 Асимптотика и(х,£) при |ж| —> оо и ограниченных £.
3.3 Асимптотика решения при £ —> —оо
4 АР специального решения уравнения Абеля при £ —► +оо.
4.1 Асимптотики вне малой окрестности ударного слоя
4.2 Промежуточное асимптотическое разложение г)(з, £)
4.3 Внутреннее асимптотическое разложение п(з, £)
4.4 Обоснование асимптотического разложения у(я, £)
4.5 Итоговое описание равномерной асимптотики

5 Дифференцирумость АР специального решения уравнения Абеля их = и3 — 1и + х
5.1 Промежуточные АР производных и{х,Ь) по £
5.2 Внутренние разложения производных и(х, £) по
5.3 Дифференцируемые АР производных и(х, £)
6 Решения краевых задач для нелинейных ОДУ второго порядка типа Колмогорова — Петровского — Пискунова
6.1 Складки и решения типа Колмогорова — Петровского —
Пискунова
6.2 Асимптотики при £ —» ±оо и метод нормальных форм
6.3 Глобальные решения
7 Типичные особенности решений некоторых гидродинамических систем
7.1 Сборки и ударные волны при движении невязкого изоэи-
тропического газа
7.2 Особенность сборки при самопроизвольном падении интенсивности в неустойчивых средах
7.3 О влиянии малой диссипации и малой дисперсии на за-
рождение одномерных ударных волн и на процессы “провального” самообострения амплитуды системы НГО
8 Нелинейные функции волновых катастроф, удовлетворяющие интегрируемым уравнениям в частных производных
8.1 Класс рассматриваемых специальных функций
8.2 Решения НУШ (8.14), пропорциональные при 5 = 0 ин-
тегралу Пирси (60). “Линейный” вариант симметрийного подхода

3.3 Специальное решение Гуревича — Питаевского уравнения КдВ
3.4 Состояние современной теории СФВК, удовлетворяющих нелинейным интегрируемым уравнениям

(пусть ДЛЯ определенности при Х > ф{х2) главный член разложения (2.2) есть корень гго,з(А')).
Растянутой переменной для такого сшивающего разложения является, очевидно, переменная у — (хд — ф(хг))/є, а его главным членом — гладкое при всех у решение ъи(х2:у) ОДУ
(1 + ф,{х2)'1)щ1У + /{ф{х2),х2,ги) = 0, (2.5)
удовлетворяющее условиям
ип^ги{х2, у) = щ^(ф(х2),х2), 1ііиш(.т2. у) = Щ;л{ф{х2),х2), (2.6)
у^ос'Ыу^’У) = °- (2-7)
После умножения обеих частей ОДУ (2.5) на гиу и интегрирования полученного уравнения на промежутке от — оо до оо, учитывая условия (2.6),(2.7), получаем, что критическую кривую (2.4) надо определять из известного правила равных площадей
иа,з(ф(х2),Х2)
J /{х2,ф(х2),'ш)<іиі = 0. (2.8)
Этот вывод о критической кривой (2.4) косвенно подтверждают также результаты работ [13]- [20], в которых исследовались решения краевых задач для уравнения (2.1) в областях, где решения (2.3) многозначны: по разные стороны от кривой, определяемой именно по правилу (2.8), внешние асимптотические разложения этих решении задаются двумя разными рядами (2.2). Подобные — вида сглаженных ударных волн, асимптотические решения уравнений с малым параметром при производных ныне часто называют контрастными структурами типа ступеньки.
Изучаемое в данной главе специальное решение ОДУ (8) описывает зарождение такого сорта контрастных структур в окрестностях точек сборки По (У) - Из общей идеологии метода согласования [22] следует, что