Моментные функции решений уравнения диффузии

• Автор: Беседина, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Вариационная производная и характеристики

случайных процессов

§ 1.1. Вариационная производная

§ 1.2. Обобщенные функции

1.2.1. Свертка

1.2.2. Преобразование Фурье

§ 1.3. Случайные процессы и их характеристики

§ 1.4. Вспомогательные утверждения

Глава 2. Дифференциальные уравнения с вариационными
производными
§ 2.1, Обратная задача вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений второго порядка
2.1.1. Условия существования решения обратной задачи
2.1.2. Нахождение вариационного интеграла
2.1.3. Интегрирующий множитель
§ 2.2. Дифференциальные уравнения с обычными и вариационными производными
2.2.1. Уравнение первого порядка с обычной и вариационными
производными
2.2.2. Уравнение третьего порядка с обычными и вариационными
производными
Глава 3. Моментные функции решения задачи Коши для
уравнения диффузии
§ 3.1. Постановка задачи

§ 3.2. Переход к детерминированным задачам
3.2.1. Математическое ожидание
3.2.2. Вторая моментная функция
3.2.3. Дисперсионная функция
3.2.4. Частные случаи
3.2.4.1. Случай независимости процесса / от процессов е, /177
3.2.4.2. Случай независимых процессов при конкретных законах распределения
3.2.4.3. Случай зависимых процессов при конкретных законах распределения
3.2.4.4. Случай дискретных случайных величин
§ 3.3. Характеристический функционал дифференциального
уравнения
3.3.1. Разложение характеристического функционала в степенной ряд
3.3.2. Моментная функция п-го порядка решения задачи Коши
Список литературы

Введение
Многие процессы в природе, технике и экономике описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Если эти уравнения детерминированные, то такие задачи достаточно изучены, и иногда могут быть найдены точные решения. Часто реальные процессы зависят от влияния случайных факторов и детерминированные модели не подходят. В этом случае рассматриваются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, при этом решения уравнений также являются случайными процессами. При исследовании' случайных процессов наиболее важными характеристиками- являются моментные функции.
Задачу нахождения моментных функций решений уравнений со случайными коэффициентами рассматривали. Дж. Адомиан. [1], Вент-цель А.Д. [19], Кляцкин В.И: [39], Татарский В:И. [51], Тихонов В.И. [52], Фурсиков A.B. [54, 55], Монин A.C., Яглом А.М. [43, 44] и другие. Применяют различные-подходы. Строят цепочки уравнений: для моментных функций, используют метод последовательных приближений, при малых случайных возмущениях строят асимптотическое приближение, для некоторых задач значение моментных функций можно получить из явного вида решения. В случае линейных дифференциальных уравнений применим метод, рассмотренный Задорожним В.Г. в работах [27, 29], [30]— [33] j [36, 38]. Данный метод основан на сведении поставленной задачи к нахождению решений детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными. В работах Строевой JLH. [35, 48, 50] рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, в [49] получена формула момент-ной функции: го-го порядка. Боровикова М.М. [13]—[16] и Хребтова С.С.

Доказательство. <р = у (ж, у, у у"), следовательно
<1ху" = Фу"х (фу")уУ (фу")у'У А- {фу")у"У
С учетом этого условие (2.1.3) перепишется в виде
Фу' Фу' ~~ 2((руп)уу 2((Ру"')у'У 2(Фу")у"У — О,
так как у зависит только от х, у, у', у", то, согласно лемме 1.4.2, последнее условие равносильно равенствам
Фу"у" = 0) (2.1.15)
Фу' Фу' ~ 2(фу")х ~ 2{}Ру")уУ ~ 2( Из условия (2.1.15) следует, что у имеет вид (2.1.6), а условие (2.1.2)
равносильно условию (2.1.7).
Подставим (2.1.6) в (2.1.16)
Фу' = {А-У )г/' П- Ву’’
Ф*у = (Ау"Уу1 + В*у1,
{.Фу'х — Ах,
(Фу")у ~ Ау
Получим
(.А.у'%, + {Ву)* + {Ау")у, + Ву, - 2АХ - 2АуУ' - 2Ау.у" = 0.
Согласно лемме 1.4.2 последнее условие равносильно равенствам
{АН)*у, + {АК)У, - 2АУ,Н = 0, Н Е Ж”, (2.1.17)
Ву' + В*, — 2 Ах — 2 Ауу' — 0, а второе совпадает с условием (2.1.9).