Исследования по теории ограниченных решений эллиптических систем на плоскости

• Автор: Байзаев, Саттор
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Худжанд
• Количество страниц: 297 с.

Глава 1. Линейные эллиптические системы с ограниченными на всей плоскости коэффициентами
§1. О нётеровости и индексе эллиптичеких операторов с ограниченными коэффициентами
§2. Доказательство утверждений §1
Глава 2. Многомерные эллиптические системы первого порядка на плоскости
§1. Разрешимость некоторых функциональных уравнений в пространстве Г/(ССп)
§2. Медленно растущие решения эллиптических систем
§3. Доказательства теорем 2.1-2
§4. Нётеровость эллиптических систем
Глава 3. Краевые задачи типа задач Римана и Гильберта
§1. Априорные оценки шаудеровского типа в плоскости и полуплоскости
§2. Задача сопряжения для полуплоскости
§3. Краевая задача Гильберта на полуплоскости
Глава 4. Ограниченные и периодические решения эллиптических систем
§1. Ограниченные решения линейных уравнений
§2. Периодические и ограниченные решения квазилинейных уравнений
§3. Доказательства утверждений §1
§4. Доказательства утверждений §2
Литература

Актуальность темы. Изучение задач об ограниченных, в том числе периодических решениях, и граничных задач в неограниченных областях для эллшштических систем первого порядка на плоскости представляет большой интерес, особенно в связи с тем, что такие задачи очень часто встречаются в приложениях.
Основополагающими работами в теории эллиптических уравнений и систем на плоскости являются работы М. А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Ф.Д.Гахова, Л.Г.Михайлова, В.Н.Монахова, Л.Берса, их учеников и последователей (см., например, [18, 22, 27-30, 60, 61, 100, 101] и имеющуюся там библиографию). В работах Б.В.Боярского, Л.Берса и Л.Ниренберга (см., например, [25, 102]) на решения линейных равномерно эллиптических систем первого порядка
Ьги = Юг + + 92(2)162 + а(г)т + Ь(г)ю = /(г), (1)
где |91(2)| + 192(2)! < 90 < 1 перенесен ряд важных свойств аналитических функций.
Для систем вида (1), когда 91 = 92 = 0 и коэффициенты а,Ь принадлежат пространству Ьр[С),р > 2 (этот случай называют регулярным), И.Н.Векуа и Л.Берсом [28, 30, 100, 101] построена полная теория, известная под названием теории обобщенных аналитических функций. В этом случае установлены глубокие аналогии между решениями системы (1) и аналитическими функциями. Л.Г.Михайловым [70] впервые изучен сингулярный случай, т. е. когда коэффициенты имеют точечные особенности вида 1/г, и многие свойства аналитических функций перенесены на этот случай. С.Н.Антонцевым [4] изучен почти регулярный случай, когда коэффициенты суммируемы с квадратом с весами, имеющими логарифмичекую особенность. Н.К.Блиевым [2, 20] изучались случаи, когда коэффициенты принадлежат пространству Бесова ВрЛ.С), I < р < 2,а = (2 — р)/р. Показано существование решения из пространства Вр^1(С1), когда область в ограниченная, и из пространства Д"ь aq = 2, когда С — С, С — комплексная плоскость.
В работах И.Н.Векуа, Б.В.Боярского, Л.Г.Михайлова, Ф.Д.Гахова и Э.Г.Хасабова (см., например, [22, 30, 45, 70]) изучались краевые задачи типа задачи Гильберта для уравнения обобщенных аналитических функций. Л.Г.Михайловым [68, 69] и Г.Н.Александрия [3] рассматривались краевые задачи типа задачи Римана. Названными авторами установлена нётеровость этих задач, получены формулы для индекса. В ряде работ В.Н.Монахова и С.Н.Антонцева (см., напр, [71, 109]) исследованы краевые задачи для квазилинейных равномерно эллиптических систем (когда коэффициенты и правая часть системы (1) зависят также от искомой функции) и даны приложения результатов в задачах гидро- и газодинамики. Аналогичные результаты для случая квазилинейных почти регулярных систем получены в работах С.В.Монаховой [72]. Краевые задачи типа задачи Гильберта для общих эллиптических систем, а также более общие краевые задачи изучались В.С.Виноградовым, И.И.Данилюком, В.Н.Монаховым, Л.Берсом и Л.Ниренбергом (см., например, [31, 49, 71, 102]). Полный обзор последних работ по уравнениям вида (1) имеется в [117].
Как правило, краевые задачи в ограниченных областях для систем вида (1) и для большинства эллиптических уравнений и эллиптических псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии являются нётеровыми (см., например, [54, 84, 87, 93, 95]). Для системы (1) свойство нётеровости краевых задач в неограниченных областях сохраняется, если коэффициенты принадлежат классу LP$(C), р > 2 — множеству функций
/(г) таких, что f(z) Є Lp(z < 1) и f(ljz)z 2 Є Lv(z < 1); вне
области задания функция / продолжается нулем [30]. Если для случая неограниченных областей от коэффициентов системы (1) не потребовать условия суммируемости, то свойство нётеровости краевых задач, вообще говоря, нарушается. Например, пусть в системе (1)
9i = 92 = Ъ = f = 0, а = г Д/1 + z2.
Тогда все функции

где
2.3. Доказательство лелмы 1.6. Имеем
11/„_/1а' = sup|a(z+n )-a°(z)| |a>(z)|+sup g (z ,z ) zee n z1^z2
grt(zi >zz)=z-zz~'a' I Ia(21+ftn)-a°(21 )]!i!(z1 )-
- [a(z2+7in)-a° (Zg) lw(z2) |.
Так как w(z) имеет компактный носитель, то
sup|a(z+ft )-a°(z) | |ш(г) |—Ю при n~«о. (2.13)
z€C n
Пусть с — sup g (z,,z_), К - носитель m(z), s - произвольn z1?!z2 n 1 2 n
ное, sn>0 и s —*0 при п.-*». Тогда найдутся такие точки t и т , t , что
ТЪ ппп
VSn^(^>) ^1>2
Без ограничения общности можно считать, что последовательность Sn=|£n-%J сходится к конечному или бесконечному пределу 0. В силу симметричности функции gn(z.,zz) относительно переменных z^Zg и компактности носителя функции ш(z), если нужно переходя от последовательностей tt >, {тто> к их подпоследовательностям, достаточно рассматривать следующие случаи: а)t еК, 1 еК Чп; б)t еК, %ёК Чп.
TL ТЬ ТЬ ТЬ
Рассмотрим случай а). Так как
Vra'[ l°( Vba°(tre) I |Ш(4Л) | +
+ |а(гп4Ля)-^(тл)||»(тл)|] (2И5)
и для всякой последовательности (Я1 - компакт)
Xim|a(3 +h)-a°(s )|=0,
n-^00
то в случае, когда б>0 имеем