Разрешимость краевых задач для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

• Автор: Потапова, Саргылана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 114 с.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1.1 Гельдеровские пространства

§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений

§1.3 Элементарные решения Пини-Каттабрига для параболического

уравнения высокого порядка

2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ 2тг-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

§2.1 Постановка задачи

§2.2 Общий случай

2.2.1 Единственность решения

2.2.2 Существование решения

§2.3 Случай п >

§2.4 Случай п
§2.5 Случай п
3 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ЖЕВРЕ С НЕПРЕРЫВНЫМИ УСЛОВИЯМИ СКЛЕЙКИ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. Пусть Е комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой || ■ || и В, L линейные операторы, действующие в нем. Рассмотрим уравнение
But = Lu + f, te(0,T), (Т < со), (1)
Краевые задачи для уравнения (1) представляют собой абстрактную форму многих краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, для интегро-дифференциальных уравнений. Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике.
Для уравнений соболевского типа (спектр пучка L + А В содержится в одной из полуплоскостей вида Re А < а, Re А > а) это задачи гидро и газовой динамики, теории упрогости и некоторые другие. Среди работ, посвященных таким уравнениям, отметим [41, 65, 72, 124, 125, 142].
Уравнения не типа Соболева (как правило, это означает, что спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси)возникают в гидродинамике при изучении движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости, в теории переноса при описании процессов переноса нейтронов в ядерном реакторе, рассеивания электронов в металле, в частности плите, проникновения т-лучей и 7-лучей сквозь рассеивающую среду, движения частиц (нейтронов, фотонов, электронов и т.д.) в некоторой среде [8, 1G, 25, 26, 45, 47, 54, 70]. Так же они возникают в геометрии, популяционной генетике [17, 68, 69] и некоторых других областях.
Исследованием уравнения (1) соболевского типа в различных случаях пространства Е и операторов В, L занимались многие математики, среди них К. Вейерштрасс, Л. Кропекер, Ф.Р. Гантмахер, Ю.Е. Бояринцев, математики из школы С.Г. Крейна, В.Б. Осипов, С.Д. Эйдельман, С.П. Зубова, К.И. Чернышев, P.E. Шовальтер, А.Г. Руткас, H.PI. Радбель, H.A. Сидоров, М.В. Фалеев, А.И. Кожанов, А. Фавани, Г.А. Свиридюк, И.В. Мельников, М.А. Альшан-ский и др.

Уравнение вида (1), не являющееся уравнением соболсвского типа, в абстрактной форме исследовалось, например, Р.Билсом, Н.В. Кисловым, В. Гринбергом, К.В.М. ван дер Ми, П.Ф. Звейфелом, С.Г. Пятковым, П. Гри-свардом. Среди методов, применяемых для исследования разрешимости краевых задач для таких уравнений, можно выделить вариационный метод, основанный на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп, метод Фурье (разложение по собственным функциям).
В работах Н.В. Кислова [50, 52, 53] рассматрены дифференциально-операторные уравнения вида (1) в случае, когда операторы Ь, В симметричные в гильбертовом пространстве Е, причем Ь положительный. Была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением известной теоремы Лакса-Мильграма, позволяющая доказывать существование и единственность слабых и сильных решений краевых задач для уравнения (1). Также было доказано, что сильные решения неоднородных краевых задач обладают гладкостью, достаточной для существования следов решений в соответствующих пространствах.
Отметим, что для уравнений соболевского типа или близких к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих соболевскому типу, корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева. Ранее, в работах [б, 8, 10, 37, 53, 81, 134] были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида (1). В этом случае при исследовании вопросов разрешимости, единственности и устойчивости решений возникают ряд проблем, связанных в основном с тем фактом, что на данном временном интервале решение данной задачи не всегда существует. Как правило, оно существует (например, решение первой начально-краевой задачи), но на некотором малом временном промежутке, а далее может разрушиться в том смысле, что решение или его производные могут обратиться в оо. Примером может служить тот случай, когда коэффициенты уравнения на какой-то поверхности в области задания уравнения плохо себя ведут, например, обращаются в оо. Другими примерами, не очень хороших сингулярных параболических задач служат параболические уравнения с меняющимся направлением времени, которые являются предметом исследования данной диссертационной

#',(!) Г Ь1Ы$Аф(т)

(2.2.25)
г=о
Так как справедливо равенство
F(a, 1, с; <) - 1 = - £ Т(а + 1,1, с + 1; £), с
(2.2.26)
то в силу формулы (2.2.22), систему уравнений (2.2.23) при выполнении условий (2.2.24), (2.2.25) можно представить так:
л,а'м + длмдд) -1 / *■ = ё; (*),
(2.2.27)

2па0В0(т)Р{± 1,1 + 4; *)*£ + 2пФ (,'(0)^ + ^ (*)
7Г(1 + ?)
81П 2^Г
^В;(/3(0))^(^,1,
(у = 2,4 2п-2)

^(1+Я

(2п 1 —У) (1+7)
^•1^(/3(0)).Р(^, 1,1 + ^; £)^+
+вт
и = 1,3 2тг — 3)
^2тг-1^) + Ф2п-1(°) + Ф2гг-1(0)