Интегральные представления эллиптической и параболической функций Грина и их приложения к оценкам спектров полуограниченных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов

• Автор: Гадоев, Махмадрахим Гафурович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 234 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Интегральные представления сильно непрерывных полугрупп порожденных псевдодифференциальными операторами во всем
пространстве Нп и на компактных многообразиях без края
§1.1. Формулировка основных результатов
§1.2. Оценки норм некоторых интегральных операторов
§1.3. Доказательство основных теорем
§1.4. Асимптотическое поведение собственных значений
оператора Лр
§1.5. Псевдодифференциальные операторы на компактных
многообразиях
Глава И. Спектральная асимптотика несамосопряженных вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов с
сингулярными матричными коэффициентами на отрезке
§2.1. Введение. Формулировка основных результатов
§2.2. Одна лемма о матричных функциях
§2.3. Дифференциальные операторы с матричными коэффициентами
§2.4. Доказательство теоремы 1.
§2.5. Суммируемость в смысле Абеля-Лидского системы корневых
вектор-функции оператора А
§2.6. Асимптотическое распределение собственных значений
оператора А
§2.7. Обобщенная задача Дирихле

Глава III. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами.178 §3.1. Предварительные сведения и формулировка основного результата
§3.2. Некоторые вспомогательные леммы
§3.3. Доказательство основной теоремы
Глава IV. Асимптотика спектра несамосопряженных вырожденноэллиптических систем дифференциальных операторов
§4.1. Формулировка основных теорем
§4.2. Оценка резольвенты некоторых классов вырожденно-эллиптических
дифференциальных операторов в //2(0,1)
§4.3. Оценка резольвенты оператора Р
§4.4. Асимптотическое распределение собственных значений
оператора Р
§4.5. Спектральная асимптотика дифференциальных операторов
при общих граничных условиях
§4.6. Асимптотика спектра одного класса несамосопряженных
систем
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена исследованию сильно непрерывных полугрупп порожденных в весовых Ьр - пространствах, 1 < р < +оо, системами псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) и исследованию некоторых вопросов спектральной теории, как самосопряженных так и далеких от самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов (д.о.) и п.д.о.
Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.
В первой главе мы рассмотрим замыкание Ар>1с п.д.о. с матричным т-символом:
(А)«)(ж) = (27т)~п У (I е1В^х~у>> а(тх + (1 - т)у, з)и(у)(1у){к,
Яп Яп
£)(Л0) - С^(Яп)1, 0 < т < 1,
в пространстве 1 < р < +оо, вектор-функций (в.-ф.) и(х) — (щ(х),..., щ(ж))', с конечной нормой

... = (£ [wwi-jwi'dr)1/'.
.7=1 L

В теореме 3.1 найдены условия на символ а(ж, s), при выполнении которых оператор AP:k будет инфинитезимальным производящим сильно непрерывной полугруппы в Tipгк. Этот результат удастся распространить также и на

пространство Нх,к непрерывных в.-ф. и(х), удовлетворяющих условию |и(ж)| к(х) = о(1), х —»• оо с конечной нормой
Мг, = sup Мж)|/г(ж).
П°°,к x£Rn
На примере уравнения теплопроводности можно показать, что если условие

|и(ж)|к(х) — о(1), х —> оо в определении пространства опустить, то

полугруппа не будет непрерывной на [0, +оо) в Н^к-

Результаты полученные в §§2.2—2.5 мы применяем в §2.7 для исследования неоднородной задачи Дирихле
А[и, v — ß(u, v) —< F, v >, /v E (0.27)
с граничными условиями
tfM(O) = ai, uw(l) = ßui = 0,1, ...,s0 - 1; где so€ [m — 9 — ,m — 0 + |] -целое число.
Найдены условия однозначной разрешимости, а также соответствующие оценки решения в которой участвуют числа сц, Д.
Подобные результаты до недавнего времени были известны только в случае коэрцитивных форм. Случай некоэрцитивных форм рассмотрен в работах К.Х. Бойматова, К. Седдики [47,48] и М.С. Аграновича, A.C. Маркуса [93] при условии, что все с.з. матрицы a(t) - простые и различные, причем a(t) е Ст.
Мы же предполах'аем лишь непрерывность старшего коэффициента. Однородная обобщенная задача Дирихле ставится следующим образом (см. [76]). Для F Е У-L найти и Е 7il+, такой что
A[u,v] - fi(u,v) =< f,v>,Vv Е C0°°(jy (0.27).
Очевидно, что эта задача эквивалентна следующей задаче: для F Е 7~Ll_ найти элемент и Е 7il+ такой, что
А[и, v] — ß(u, v) =< F, v >, Vh E 7Hl+ (0.28).
Разрешимость задачи (0.28) тесно связано с разрешимостью сопряженной задачи: для G Е 7i.L найти и Е Ti!+ такой, что
A+[u,v] —JL(u,v) —< G,v >,Vh € 7i}+ (0.29).