Устойчивость и колебания решений дифференциальных уравнений с гистерезисными функциями

• Автор: Филина, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 117 c. : ил

Глава I. Описание систем с гистерезисными функциями

§ I. Определение гистерезисной функции

§ 2. Классы К и .1л

§ 3. Системы с гистерезисными нелинейностями. Существование, продолжимость решений

Глава II. Устойчивость систем с гистерезисными функциями 29 § I. Абстрактная теорема о равномерной устойчивости в
целом

§ 2. Достаточные условия устойчивости (Симметричный

сектор). Дихотомия

§ 3. Достаточные условия.устойчивости (Несимметричный

сектор)
§ 4. Использование форм 4-й степени с целью построения функций Ляпунова для систем с гистерезисными нелинейностями
§ 5. Примеры
Глава III. Неустойчивость и колебания систем с гистерезисными функциями
§ I. Условия слабой неустойчивости
§ 2. Условия существования периодических.решений
§ 3. Примеры
Приложение
Литература

Диссертационная работа посвящена исследованию систем дифференциальных уравнений вида
функция (см. гл. I).
Системы такого вида являются математическими моделями систем автоматического регулирования, в которых возникает сухое трение, люфт, некоторые приборы имеют зоны нечувствительности, происходит пространственное запаздывание управляющего сигнала и т.п. С I - б]
Первые теоретические исследования систем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы в работах А.А.Андронова, А.А.Фельдбаума, КраутвигаС 7 - 92 . В указанных статьях использовались методы фазовой плоскости и точечных отображений для построения качественной картины поведения траекторий двумерных систем. Рассматриваемые там гистерезисные функции имели определенный, "стандартный" вид. Ряд важных результатов по исследованию двумерных систем с гистерезисом был получен также в более поздних работах Еб, 10 - 15Ц
В перечисленных работах изучались системы лишь второго порядка потому, что применение метода точечных отображений к системам более высокой размерности сопряжено с большими техническими трудностями.
Необходимость исследования систем высокого порядка для реX = Рх + ,
©■ = г*х,
(0.1)
постоянные
ҐЬ - векторы, (•*) - транспонирование,
гистерезисная

шения важных инженерных задач привела к созданию ряда приближенных методов, среди которых особое место занимает метод гармонической линеаризации С4, б, 16 - 19]
Приближенные методы отличаются сравнительной простотой и широко применяются в инженерной практике, однако их применение не является строго математически обоснованным и может приводить к ошибочным результатам Г 20, 21]
Точные методы исследования систем вида (0.1) появились в начале 60-х годов, вслед за выходом работ В.М.Попова С 5,22-27]. В последующие годы было получено множество эффективно проверяемых частотных критериев устойчивости, конвергенции, ограниченности, колебательности и т.п. [б, 28, 29, 32]
Важную роль при установлении этих критериев сыграли результаты Р.Калмана и В.А.Якубовича [33,34] по решению специальных матричных неравенств.
Наряду с частотными появились также алгебраические методы исследования систем вида (0.1) такие, как, например, метод Я.З.Цыпкина [5, 30, 31, 35] . Эти методы основываются на специфических свойствах некоторых гистерезисных функций (в частности, релейных) и позволяют находить периодические решения, удовлетворяющие заранее оговоренным ограничениям.
В 60-х - 70-х годах были созданы различные виды строго математических определений и классификаций гистерезисных функций с целью выявления общих свойств систем с функциями из заданных классов [24, 25, 36 - 41]
Появившиеся к концу 70-х годов разнообразные частотные критерии, определяющие типы поведения решений системы (0.1) с различными гистерезисными функциями имеют общую черту.
Как правило, гистерезисная нелинейность выбирается из оп-

творяющая условиям I) и 2), указанным в лемме 2.5.
Введем обозначения:
се 2 £ 1г* р
ХМ)- ^е,('/г*р/+уг(д//г^/) > '■
ы. 4-1 ^ (К~ &. /■* |
Величины Э&^Со1), Эб-2_Сс1) , по определению, не зависят от оС так как Р ==<Л5Д. Ь.)У1(Ц1- Величина Г М непрерывно зависит от о^> , в силу непрерывности (л)ъ (ы.) по оС
и £<*/«*) по ы. и по ^ (непрерывная зависимость от параметров и начальных данных решения линейного уравнения 1-го порядка). Таким образом, мы убедились в том, что все условия теоремы 2.1 выполнены, следовательно, система (1.1) равномерно устойчива в целом.
Примеры, иллюстрирующие применение теоремы 2.2 и ее следствий, будут рассмотрены в § 5.
При доказательстве теоремы 2.2 мы пользовались тем условием, что матрица Р неособенная и, более того, гурвицева. Однако, на практике часто приходится иметь дело с системами вида
(1.1), где Р - О Г1-7; 423 . В этом случае справедлив следующий результат.
Теорема 2.3. Пусть оСиР = о , выполнены условия предельной устойчивости [Г 54] > г*°» 7 ср) не вырождена, и
Г» с £ рЕГоЗ- О. (2.26)
Пусть также существует положительное число Л. такое, что выполнены условия:
I) /сО ^0, ((со-К) о , если /"= О ;