Абстрактные ортогональные многочлены и дифференциальные уравнения

• Автор: Мате Саад Джалиль
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 86 с.

Глава I. Равномерно корректные задачи для абстрактных дифференциальных уравнений

§1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства

§ 1.2 Оператор-функции и полугруппы

§ 1.3 Позитивные операторы

§1.4 Уравнение 2-го порядка. Эллиптический случай

Глава II. Абстрактные ортогональные многочлены

§2.1 Ортогональные многочлены скалярного аргумента

§2.2 Трехдиагональные матрицы с операторными элементами

и операторные ортогональные многочлены

§2.3 Дифференциальные уравнения для классических

абстрактных ортогональных многочленов

§2.4 Обращение бесконечных трехдиагональных матриц
специального вида
§2.5 Обращение операторных матриц
Глава III. Применение ортогональных многочленов к решению дифференциальных уравнений
§3.1 Представление задачи Дирихле для уравнения второго порядка через ортогональные многочлены Чебышева второго рода
§3.2 Представление решений одного вырождающегося дифференциального уравнения через абстрактные многочлены Лагерра
§3.3 Оценка решений
Литература
Пусть Е банахово пространство с нормой || • \е — || ■ ||, А генератор Со- полугруппы U(t), действующей в Е, и удовлетворяющей оценке
\U{t)\ Ш = const тип полугруппы.
Через С([0,1], Е) будем обозначать пространство векторнозначных функций f(x) со значениями в Е и нормой
\f\c = sup ||/(2;)Цвг<=[0,1]
Как известно (см. [29], стр. 96), пространство С([О, I], Е) являются банаховыми.
В [14] с помощью конечно-разностного метода исследовалась корректная разрешимость в смысле [29, стр. 316] в пространствах С([0,1],Е) краевых задач для дифференциального уравнения
Q(x)u(x) + Аи(х) = 0, (х £ [0,1]), (2)
где Q(x)u(x) = а{х)и”(х) + Ь(х)и'(х), а(х) > 0, а(х) £ С(1^[0,1], Ь(х) £ С<«([0,1]). Особенностью данного уравнения является обращение в ноль коэффициента а(х) при х — 0. И в этом случае, вообще говоря, нельзя для выделения единственного решения произвольным образом задавать значение решения в нуле.
В связи с этим в [12] М.В. Келдышем была введена классификация, в соответствии с которой рассматривается условие D (Дирихле), когда

для выделения единственного непрерывного па [0,1] решения нужно надавать условия при I = 0 и г = 1, и условие Е, когда ставится только одно условие при X = 1.
Отметим, что изучению операторов Q посвящены многочисленные работы. Так в [28] дается описание всех "граничных"условий, совместно е которыми Q порождает в пространстве ограниченных функций полугруппу класса Со.
Наиболее полные исследования оператора Q проведены в [4|. Случай с вырождением для Е = Я- гильбертово пространство, рассматривался в [3].
Конечно- разностный метод в скалярном случае используется в [20] для исследования спектра оператора Штурма- Лиувилля.
В [15], по-видимому впервые применен конечно разностный метод для исследования корректной разрешимости краевых задач для уравнения
(2) в общем случае, когда А- генератор полугруппы класса Со в Е, а оператор Q, совместно с условиями типа D или Е, имеет спектр расположенный в резольвентном множестве оператора А.
Эти исследования проводились в связи со следующими определениями:
Определение 1.(см. [15]). Функция u(t) Е D(A) называется обобщенным решением уравнения (2), если
1) u(t) Е С([0,1],'£?); 2)Q(t)u(t) Е С([0,1], Е) 3) u(t) Е D(A) для t Е [0,1]; 4) она удовлетворяет уравнению (2)
Здесь D(A)~ область определения оператора А, С([0, 1], Е)- пространПрименяя в (2.2.16) оценки (2.2.12)и (2.2.15), получаем неравенство
Из доказанного получаем
Следствие 2.2.1. Для того чтобы для элементов обратной матрицы М~1(А) выполнялась оценка (2.2.16), достаточно, чтобы интервал ортогональности характеристических миноров принадлежал резольвентному множеству оператора А.
§2.3. Дифференциальные уравнения для классических
Пусть А- производящий оператор полугрупп класса Со в Е. Тогда, как известно (см. [10], стр. 125]), области определения С(ЛП) всех его степеней Ап плотны в Е. Пусть х € Я(А"), тогда для всех таких х, очевидно имеет смысл выражение гь4п_1 и можно определить
1 ?- С'
(2.2.Т6)
абстрактных ортогональных мноочленов.
(2.3.1)
= 0 (/- тождественный оператор), так как в этом случае х € С(А"-1).
Тогда, очевидно, имеют смысл соотношения
(аАт + ЪАп)' = атАт-1 + ЪпАп~1 (а, Ь £ Я1),
(АтАп)' = (Ат)'Ап + Ап(Ат)', (Рп(А))1 = (Е пакАку = £ какАк-
(2.3.2)