Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений

• Автор: Чиркунов, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 388 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление
Введение
Глава 1. Структура точечных преобразований, допускаемых системой линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка
с постоянным коэффициентами
§ 1. Определяющие уравнения и преобразования эквивалентности
§2. Условия X-автономности основной алгебры Ли
1. Постановка задачи. Структура алгебраической системы
2. Одномерный случай [п = 1)
3. Многомерный случай (/7 > 1). Канонические системы
4. Двумерный случай (/7 = 2). Критерии X -автономности основной алгебры Ли
5. Многомерный случай (/7 > 1). Критерии х-автономности
основной алгебры Ли
6. (г, /) - пара. Необходимое условие не X - автономности основной алгебры Ли
7. Групповое свойство исключительной сис темы
8. Сводка результатов об X- автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений
9. Квазилинейная система
10. Примеры
11. Обзор выполненного исследования X-автономности основной алгебры Ли системы линейных
дифференциальных уравнений
§3. Свойство второй координаты операторов, допускаемых
системой линейных уравнений

1. Постановка задачи. Определяющие уравнения
2. Одномерный случай (гг = 1)
3. Многомерный случай (гг > 1). Система, основная
алгебра Ли которой не х - автономна
4. Многомерный случай [п > 1). Система, основная алгебра Ли
которой х- автономна
4.1. Основная теорема. Критерий существования нелинейного отображения, матрица Якоби которого коммутирует с каждой матрицей
из некоторого множества матриц
1. Неприводимое множество X
2. Приводимое множество X
2.1. Многомерные факторы
2.2. Одномерные факторы
2.2.1. Бр Х =
2.2.2. БрЦф
4.2. Свойство второй координаты в многомерном случае (я > 1) .для системы, основная алгебра
Лн которой х- автономна
5. Достаточные условия линейной автономности основной алгебры Ли
6. Алгоритм исследования линейной автономности основной
алгебры Ли
7. Примеры
8. Сводка результатов
9. Обзор выполненного исследования свойства линейности второй координаты
Глава 2. Групповые свойства и законы сохранения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка
§1. Касательные преобразования, допускаемые квазилинейными
дифференциальными уравнениями второго порядка
§2. Точечные преобразования, допускаемые слабонелинейными
дифференциальными уравнениями второго порядка
§3. Законы сохранения первого порядка для слабонелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка
§4. Законы сохранения первого порядка для линейных
дифференциальных уравнений второго порядка
§5. Классификация по законам сохранения первого порядка линейных гиперболических дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
1. Случай: И ■ к Ф 0
2. Случай:. h-k —
3. Инвариантная характеристика случаев расширения множества законов сохранения первого порядка
§6. Сводка результатов
Глава 3. Групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными
функциями двух переменных
§ 1. Постановка задачи
§2. Групповая классификация гиперболических систем
1. Случай: a-Ьф
2. Случай: а-Ь —
§3. Групповая классификация параболических систем
§4. Групповая классификация эллиптических систем
§5. Групповая классификация эллиптических уравнений второго
порядка с двумя независимыми переменными
§6. Сводка результатов

При <т— 1, к — 1 система (1.16) состоит из уравнений:
а]£; = а)% (/ =1,2,..., т; т > 4), которые при / > 3 имеют вид:
Я/Гь’=0. (1.18)
В частности, при 1 = 3 из (1.18) следует: Ас:! = 0. Так как А Ф 0, то £, =0. При а = 1, к = 2 система (1.16) состоит из уравнений:
+ а)^ + 5]г = с/ + (/ = 1, 2, ..., ш; т > 4),
которые при / > 2 имеют вид
<*!£=$■ (1-19)
В частности, при 1 = 3 из (1.19) следует: С3° = 0.
При (7=2 система (1.16) состоит из уравнений: =0, из
которых при к = I = 2 следует <к = 0. В силу этого равенства соотношения
(1.18) и (1.19) справедливы при всех / = 1, 2, ..., т. В результате, система
(1.16) упрощается до следующей:
й;(^(° + ^) = 0 (£, /= 1, 2, ..., т).
При сг= 3, к = 3 эта система состоит из уравнений:
Л(Л£° + а^з0) + а34^ + а/^0 = 0,
которые равносильны уравнениям: А2^0 =0 (/= 1,2, ..., т) .
Отсюда следует, что = 0.
В третьем случае в силу преобразований (1.8) можно считать, что /л = 0. Жорданова матрица А может быть записана в виде:
Л = А2(0)ФА,(Л)®В (Лф 0).
Повторение рассуждений, проведенных во втором случае, показывает, что и