Аппроксимативная управляемость некоторых задач математической физики в неограниченных областях

• Автор: Шорыгин, Павел Олегович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Содержание
Введение

1 Аппроксимативная управляемость

системы Навье-Стокса в неограниченных областях

1.1 Постановка задачи и основные результаты

1.1.1 Управляемость посредством

граничного управления

1.1.2 Управляемость посредством

локально распределенного управления

1.1.3 Некоторые приложения

1.2 Задача управления для линейной системы

1.2.1 Постановка задачи управления
1.2.2 Построение векторного поля коэффициентов
1.2.3 Доказательство управляемости линейной системы
1.2.4 Линейная система с условием соленоидальности
1.2.5 Сжатие по времени
1.3 Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса
1.3.1 Вывод вспомогательной нелинейной задачи
1.3.2 Доказательство аппроксимативной управляемости
системы Навье-Стокса
1.4 Существование решения нелинейной задачи
2 Об одной задаче управления
для параболического уравнения
2.1 Постановка задачи
2.2 Экстремальная задача
2.3 Вывод оценок
Приложение.
Теорема о существовании и
единственности решения задачи Коши
1. Пространства и нормы
2. Случай постоянных коэффициентов
3. Случай мало меняющихся коэффициентов
4. Случай стабилизирующихся коэффициентов, не зависящих от £
5. Доказательство оценок в случае зависящих от £ коэффициентов
6. Доказательство существования решения
Список литературы

Введение
Актуальность темы
В диссертации изучаются две задачи аппроксимативной управляемости для уравнений математической физики, заданных в неограниченных областях. Первая глава работы посвящена доказательству аппроксимативной управляемости для двух- и трехмерной системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области или во всем пространстве. Доказана возможность управления решением с помощью граничного или локально распределенного управления так, что через заданное время решение системы Навье-Стокса будет сколь угодно близким к любому заданному соленоидальному векторному полю. Этот результат является главным в работе. Во второй главе диссертации рассматривается одна задача аппроксимативной управляемости для параболического уравнения, заданного на вещественной оси.
Математическая теория управляемости для эволюционных уравнений в частных производных начала развиваться в начале 60-х годов. Первыми были работы Ю.В. Егорова [8], А.Г.Бутковского [4], а позднее - Д. Рассела [71],[70], Г. Фатторини [44].
Подавляющее большинство работ до 90-х годов прошлого века было посвящено задачам управляемости линейными эволюционными уравнениями. В случае нелинейных уравнений известно значительно меньше.
Вопросы об управляемости систем Навье-Стокса и Эйлера и параболических уравнений с простейшими нелинейностями начали активно исследоваться с начала 90-х годов после того, как Ж.-Л.Лионсом [64], [65] была выдвинута гипотеза о глобальной управляемости системы Навье-Стокса с граничным или локально распределенным управлением.
Аппроксимативная управляемость уравнений Стокса изучена в работах Ж.-Л.Лионса [64],[65],[66], А.В.Фурсикова и О.Ю.Эмануилова [53],

Ж.Диаза, А.В.Фурсикова [39].
Аппроксимативная управляемость для полулинейного параболического уравнения с нелинейностью, растущей на бесконечности не выше линейной функции установлена в работах К.Фабре, Ж.-П.Пуеля и Э.Зуазуа [42],[43].
Локальная точная управляемость уравнения Бюргерса была впервые доказана в работе А.В.Фурсикова, О.Ю.Эмануилова [51]. Точная управляемость для полулинейных параболических уравнений с нелинейностью, растущей на бесконечности не быстрее линейной функции, установлена в работах О.Ю.Эмануилова [28]-[30]. В работах Fernandez-Cara [45], [46] этот результат перенесен на случай полулинейного параболического уравнения с нелинейным членом, растущим на бесконечности не выше |?/|/п|у|. Вопросы управляемости уравнения Бюргерса рассмотрены также в работах Т.Хорсина [58], Ж.А.Бернса и С.Канга [32], [33].
Точная нуль-управляемость уравнений Навье-Стокса установлена в работах А.В.Фурсикова и О.Ю.Эмануилова [52],[53].
Точная локальная управляемость системы Навье-Стокса в ограниченной области доказана A.B.Фурсиковым, О.Ю.Эмануиловым [12], [13], [49], [50] для управления, распределенного по всей границе или по ее части. Случай локально распределенного управления для системы Навье-Стокса с нулевыми граничными условиями рассмотрен в работе О.Ю.Эмануилова [59] при дополнительных ограничениях на заданную скорость.
Точная управляемость двумерным уравнением Эйлера в ограниченной области была доказана Ж.-М.Короном [35]. Позднее этот результат был распространен на случай трехмерного уравнения Эйлера О.Глассом в [57].
Аппроксимативная управляемость двумерной системы Навье-Стокса в ограниченной области с граничными условиями типа проскальзывания установлена в работе Ж.-М.Корона [36].

20(г,ж0,О) =МО<ро{& и = ч?(0<л(0>) = ОД, где ®(*»
задано в (1.18). Следовательно, делая замену переменной в интеграле, получим:
.-/ж«*
Л:г(1,£)"
(V*M£M0)r

Д-43)
Из уравнения для x(t,£) (1.18), вида функции m(t, ж) и ограниченности ^(t,x) получаем, что §|(i, £) - ограничена при (t, £) € Qr, а следовательно, из (1-43) получаем:

IlV -г0Д, -)IIl2(r^) < с,

^кыомо)т <
= Cl||Vfc(H0(-b(-))IU
А; А:
—Ci • ^7fc^Voiu2(R‘i) < с2 т: нуЧн^), (1.44)
(=1 (=
где Ci - постоянные, а последнее неравенство справедливо в силу ограниченности VVo Для произвольного I. Аналогично доказываем ограниченность || Vkzf(t, •)|{i2(M.rf), j — 0,1. Таким образом, последнее утверждение
леммы доказано. ■
1.2.4 Линейная система с условием соленоидальности
Рассмотрим следующую задачу :
dtz + (m, V)z + (z, V)m + Vq = u(t, x), supp и С Qx (1-45)
div z = 0, zt=o = v0{x), (t,x)eQT- Д-46)
Лемма 1.3 Для задачи управления (1.45),(1.46),(1.16) cm{t,x), заданным в лемме 1.1, где R выбрано столь большим, что ЦУгОИяцк^уВд) < г = 0,1, решение существует, причем z(t, •) 6 Vk, если Vi G Vk, г = 0,1.