Приближенные численно-аналитические методы решения задач теплопроводности с фазовыми переходами

• Автор: Леонтьев, Юрий Вальтерович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 140 c. : ил

В в е н и е

ГЛАВА I. РАЗЛИЧНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

§ I. Постановка двухфазной нестационарной задачи

Стефана

§ 2. Задача Стефана для цилиндрических областей

§ 3. Квазистационарная задача Стефана

§ 4. Одномерные задачи Стефана

ГЛАВА II. КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА

§ I. О существовании квазистационарного состояния

. для специальной одномерной тепловой задачи

§ 2. Двумерная-двухфазная.квазистационарная задача

. Стефана
§ 3. Приближенное решение двумерной.однофазной ква
зистационарной задачи Стефана
ГЛАВА III. ОДНОМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА
§ I. Задача Стефана для полуограниченной области
1.1. Упрощенные математические модели
1.2. Приближенные методы решения задачи Стефана
§ 2. Двухфазная нестационарная задача Стефана в ограниченной области
2.1. Интегральный метод теплового баланоа
2.2. Метод осреднения функциональных поправок
2.3. Метод подвижных источников
§ 3. Однофазная задача Стефана
ДОПОЛНЕНИЕ
ДОПОЛНЕНИЕ II
Л и т е р а т у р а

Изучение теплофизических процессов при наличии подвижных границ фазовых превращений является достаточно трудной задачей и до настоящего времени все еще малоразработанной. Успехи в ис -следовании данной проблемы имеют большое значение для самых различных технических приложений: кристаллизации слитков, горения, испарения , роста новой фазы, плавления и т.д.
Так, в металлургической практике основными процессами в технологической цепи являются процессы плавления и затвердевания. Оптимальное управление режимами мартеновской и конверторной плавки , а также формирование качественной структуры кристаллизующегося слитка в изложнице с помощью электрошлакового переплава или установке непрерывной разливки стали в большой степени зависит от уровня решения данного круга задач.
Процессы сварки и электрошлакового переплава значительным образом опираются на теоретические исследования явлений теплового переноса при фазовых превращениях. Создание общей теории выращивания кристаллов также невозможно без решения указанной проб -лемы. В основе электронной обработки материалов , а также плаз -менной резки лежат те же процессы. При испарении и конденсации важной характеристикой является скорость протекания данных процессов, определение которой является результатом анализа такого же типа задач.
Математическое моделирование таких технологических процессов связано с анализом задач теплопроводности с учетом подвиж -ности границ , на которых осуществляется фазовый переход. Исследование таких задач в значительной мере усложняется тем , что математические модели этих процессов представляют собой нелинейные краевые задачи теории теплопроводности. Вообще , все задачи,

характеризующиеся наличием искомых перемещающихся границ - задачи Стефана, относятся к числу нелинейных задач с разрывом гра -диента температуры на фронте раздела фаз.
Впервые постановка задачи Стефана и ее решение были исследованы в классической работе К. Ламе и Б.П. Клайперона [103]по замерзанию жидкости. При получении решения задачи авторами был использован принцип автомодельности , то есть сведение диффе -ренциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Основным свойством автомодельных ре -шений является то , что фронт фазовых превращений движется по закону квадратного корня от времени . Позднее этот подход при -менялся к более усложненным задачам Стефаном[107] , отечествен -ными математиками Б.Я. Лобовым[55-57] , Г.А. Тирским [80], С.С. Григоряном [21] и др. Круг решаемых с помощью этого принципа задач весьма узок , но в теоретическом плане они представляют большую ценность как точные решения проблемы Стефана.
В 1931 году Л.С. Лейбензон [4б] предложил , нашедший широкое практическое применение , приближенный метод решения задачи Стефана. Суть этого метода состоит в задании функции температурного распределения внутри каждой фазы , удовлетворяющей стационарному уравнению теплопроводности и граничным условиям.Подста -новка температурного распределения в условие Стефана приводит к дифференциальному уравнению для определения подвижной границы, которое обычно легко разрешается относительно переменной, характеризующей положение фронта. Для учета теплоемкости обеих фаз
С.Л. Лейбензон предложил второй метод [47], заключающийся в удовлетворении заданного температурного распределения не ус -ловию Стефана , а уравнению баланса тепла. Этот метод можно рассматривать как частный случай проекционно-сеточного метода [59], в котором выбирается кусочно-линейная аппроксимация приб-

где к= сопзі , не зависящая от 4,г, а • Пусть такне ?(£,) -некоторая ограниченная функция , определенная для всех £ .Тогда существует одна и только одна ограниченная при ограниченных значениях Т функция и(£/0» которая при Т>0 удовлетворяет уравнению (1.25) и при Т=0 принимает значение /*64) во всех точках непрерывности этой функции.
Теорема 2. I) При замене функции х,и) новой функцией ^ (£,<Г,11) , для которой Р{ Ї Р , функция
и(£,Л) не уменьшается (не увеличивается), если начальные условия не изменились. 2) При увеличении (уменьшении) начального значе г ния ?(&,) величина иСАХ) не уменьшается (не увеличивается).
3) Если всюду Об ї(£,)б і и Гб4,Т,0) = Р(£,,т,{) =0 , то
О б и их) б і
Теорема 3. Если функция и(£,Х) при Т-0 принима -ет значения монотонно убывающей дифференцируемой функции /’('£) и при Т >0 удовлетворяет уравнению
то ц(4,Т) есть невозрастающая функция от £ при любом с€>0
Доказательство. С помощью фундаментального решения уравнения теплопроводности сведем задачу к эквивалентному
удовлетворяющее начальному условию ио(4,0) = ■?(£,) и имеющее следующий вид:
(1.27)
интегральному уравнению
<Ґ оа
(д~4)2
где ио (4,%) ~ решение линейного уравнения ди дги л
дг дАг
(1.29)