Краевые задачи для эллиптических систем на плоскости

• Автор: Сиражудинов, Магомед Магомедалиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 237 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§1. Обозначения и предварительные сведения
§ 2. Краткое содержание диссертации
ГЛАВА 1.Краевая задача Римана— Гильберта для общих эллиптических систем первого порядка в многосвязной области
§1. Некоторые вспомогательные результаты
§ 2. Краевая задача Р-Г для одной эллиптичекой
системы
§ 3. Примеры краевых задач для систем
без младших членов
§ 4. Об одной задаче із единичном круге
§5. О непрерывных решениях системы (2.1)
§6. Система двух уравнений (гг = 1)
§ 7. Об одной факторизации эллиптической матрицы . . . . ;
§8. Задача Р-Г для общих эллиптических систем
§ 9. Некоторые примеры
^ 10. Задача Р-Г для систем с комплексными . ■
коэффициентами
ГЛАВА 2.Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости
§1. Вспомогательные результаты ... . . . . • ■
§2. Задача Пуанкаре
§3. Краевые задачи/-го порядка, I < г
§ 4. Краевые задачи £-го порядка, і г
Алгоритм нахождения индекса задачи для любого і
Примеры из геометрии
§5. Краевые задачи для систем..эллиптических
по Дуглису - Ни реибер гу
§6. Краевые задачи для системы Стокса
§7. Задача Дирихле . . ; .
Глава 3. О фредгольмовости периодической задали для общих " эллиптических систем на плоскости '.
§ 1. Периодическая задача для одной эллиптической
системы первого, порядка

§2.0 фредгольмовости периодической задачи для
общих эллиптических систем первого порядка
§ 3. 0 фредгольмовости периодической задачи для
систем эллиптических по Дуглису — Ниренбегу
ГЛАВА 4. Некоторые приложения к гидродинамике и геометрии
§ 1. Линеаризованная система Навье Стокса
(Вспомогательные построения)
§2. Краевые задачи для системы (1.1)
§ 3. Краевые задачи для системы Навье — Стокса
§4. 06 одном классе жестких выпуклых поверхностей
Глава 5. О (7-сходимости и усреднении
одного класса эллиптических систем первого порядка §1. Определение класса Л(и0, иг ) и
некоторые его свойства
§ 2. С?-компактность класса Д(^0: )
§3. Усреднение
§ 4. О геометрии бикомпакта недивергентных
эллиптических операторов второго порядка
ГЛАВА 6.Краевая задача Римана — Гильберта для общих эллиптических систем первого порядка. Кусочно-гладкий случай
§1. Некоторые пространства функций
§2. Об одном разложении эллиптических матриц
§ 3. Задача Римана-Гильберта в весовых пространствах
Соболева и Гельдера. О нетеровости задачи
§4. Формула для индекса задачи Римана-Гильберта
§ 5. Задача Римана-Гильберта для систем с
комплексными коэффициентами
Литература
Введение
§ 1. Обозначения и предварительные сведения
1. Обозначения и некоторые понятия. В работе мы пользуемся следующими обозначениями и понятиями:
С} — ограниченная связная область плоскости, граница которой состоит из объединения непересекающихся контуров IV. Гто , т ^ 0.
Причем Г0 содержит внутри себя остальные. Иначе говоря, С) есть (т + 1 )-связная область плоскости. Контуры Го,.--,Гт называем компонентами границы 8<2. т+ 1 — порядок связности области.
К* —* евклидово пространство с обычным скалярным произведением:
0, ■ Ъ = Т • ■ ■ А апЪп, сд Ь (Е .
Ск — унитарное пространство со скалярным произведением: а ■ Ъ =
(й, — Й161 -р • • ■ А , д, Ь € .
1и С — множества действительных и комплексных чисел.
Д — оператор Лапласа, Д = д2/дх + д2/дх.
V = (д/дхг, д/дхф — градиент.
с1К и = дщ/дХ{ — дивергенция вектора и = (щ , и2) ■
1, Е, £ — единичные матрицы.
с11а§(Л1,..., А„) — блочно диагональная матрица (в частности, обычная диагональная матрица), главная диагональ которой составлена из блоков А;,..Д.,.
А = (А! ; Ад |... | А„) :— матрица А, разбитая на блоки Ад,..., А„, причём у каждого блока столько же строк, что и у А.
М-2 — множество квадратных матриц второго порядка, А42 — К4. -4 — знак слабой сходимости в соответствующем пространстве.
П — как правило, единичный квадрат, П = (0, 1) х (0, 1).

§2. Краевая задача Р—Г для одной эллиптической системы
1. Рассмотрим в Q эллиптическую систему следующего вида
Lw = д ~w + /j.idzw + + ci w + с2ю = /, (2.1)
где /;<. ./<2 — квадратные матрицы порядка п, элементы которых принадлежат Cao(Q С). Причем
vraisup (|д11 + |д2|) = к0 < 1, (2.2)
х € Q
где ко ^ 0 —фиксированная постоянная, |ду| - норма матрицы , рассматриваемой как оператор умножения в пространстве С*.
Легко проверить, что система (2.1) при условии (2.2) — действительно эллиптическая. Для проверки этого запишем ее в действительной форме. Тогда в главной части имеем: U + fiVoU, где
U = (u,v), и +4v = w, а = (ajy), /3 = (fikj) - блочные матрицы. Причем, если iij = aj + bj , то ац — 1 + ai + а2 , «ш = —fin = — 6i + 62 ,
d21 - /322 — Ф + Ь2, Q’22 = 1 j- a] - а», (i;i.2 = —1 + Я; + Ф/ .
/32i = 1 — «1 + о2; где 1 — единичная матрица.
Предположим, что (2.1) при условии (2.2) не является эллиптической. Тогда определитель -матрицы А(Е,,х) = аф + /Зф равен нулю хотя бы для одной пары (ф'ж), £ £ ®2 {0}, х £ Q. Следовательно, найдется вектор 7 = (71,72)16 R2n, который'отличен от нуля и является решением однородной системы: А(фж)у-=0. Умножим последние п уравнений этой системы на i и прибавим к первым п уравнениям (к первой прибавим (п + 1)-е, ко второй (n4- 2)-е и т.д.). В результате после элементарных преобразований получим равенство (^в + + [i2(,6 = U, где ( — ф +Д2, в = 7j +*72. Умножим это
равенство (скалярно в С*) на Q9, а затем воспользуемся неравенством (2.2). Тогда получим: (1 — Д))|С|2Н2 Ф 0. Последнее возможно только при 9 = 0. Следовательно, 71 = 72 = 0. Полученное противоречие доказывает эллиптичность системы.
2. Пусть w —произвольный элемент W2 (Q; С), удовлетворяющий граничному условию (1.4):
Re-(Лад) = 0 на 8Q,
где А — гладкая унитарная матрица на 8Q. Тогда для системы (2.1), при условии, что матрицы С , с2 принадлежат пространству