Решения-утки в быстро-медленных системах на торе

• Автор: Щуров, Илья Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Выпуклая медленная поверхность
1.1. Быстро-медленные системы на торе и отображение Пуанкаре
1.1.1. Предварительная формулировка основного результата
1.1.2. Полная формулировка основного результата
1.1.3. Отображение Пуанкаре
1.1.4. Существование уток
1.2. Нормализация
1.2.1. Нелинейное вращение
1.2.2. Нормализация вблизи медленной кривой
1.2.3. Грубая оценка производной отображения Пуанкаре .
1.3. Обоснование свойств отображения Пуанкаре
1.3.1. Искажение: доказательство леммы 1.
1.3.2. Выпуклость: доказательство леммы 1.
1.3.3. Монотонность: доказательство леммы 1.
1.4. Влияние точки срыва: доказательство технических утверждений
1.4.1. Динамика вблизи точки срыва
1.4.2. Лемма об искажении: доказательство утверждения 1.1
2. Невыпуклая медленная поверхность
2.1. Основные результаты
2.1.1. Предварительная формулировка основного результата
2.1.2. Общий случай: оценка сверху на число уточных циклов
2.1.3. Оценка снизу на число уточных циклов
2.2. Отображение Пуанкаре: обзор доказательства
2.2.1. Структура доказательства
2.2.2. Основные факты и обозначения
2.2.3. Области на прямой е
2.3. Нормализация и оценки производных

2.4. Оценка второй производной отображения Пуанкаре
2.4.1. Эвристическое описание
2.4.2. Предельное поведение траекторий и оценки производных
2.4.3. Нейтральные точки
2.4.4. Оценка сверху на число нейтральных контуров
2.4.5. Бассейны притяжения
2.5. Максимальное число уточных циклов
2.6. Нелинейные эффекты
2.6.1. Сингулярные траектории
2.6.2. Экспоненциальное сжатие
2.6.3. Нейтральные траектории и нейтральные контуры
2.6.4. Оценка второй производной
Литература
Введение
Актуальность темы. Работа посвящена исследованиям в качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем, точнее в теории быстро-медленных систем (также известной под названиями теория сингулярно-возмущенных систем или теория релаксационных колебаний). Указанные системы естественным образом возникают в физических и биологических моделях, а также в теоретических исследованиях. В работе изучаются быстро-медленные системы на двумерном торе, которые обладают свойствами, не встречающимися у аналогичных систем на плоскости.
Впервые релаксационные колебания были обнаружены в радиотехнике. Для описания колебаний в контуре, включающем в себя два сопротивления, емкость, индукцию и тетрод, Б. Ван-дер-Поль предложил [25] дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее от параметра, который мы будем обозначать через р. Указанный параметр выражался через параметры элементов контура. При малых ц, колебания в контуре были близки к гармоническим, однако с увеличением р их характер менялся, и при больших значениях параметра в динамике колебательного процесса стали выделяться участки двух типов: «медленного» изменения
Покажем, ЧТО если £ не лежит В объединении отрезков Rn, то выполняется конфигурация 1 из предыдущего пункта. Из этого следует утверждение 3 теоремы 1.2.
Предложение 1.1. Пусть К£Г Д = 0. Тогда р{е) = 0 (mod 2-7rZ) и у Ре есть ровно две гиперболические неподвижные точки (притягивающая и отталкивающая ).
Доказательство. Фактически доказательство проведено в [15] (Proposition 1, с. 34). Мы воспроизводим его здесь с незначительными изменениями.
На дуге график 7£ отображения Р£ имеет наклон меньший, чем 1.
Концы графика лежат в точках и А~ на сторонах прямоугольника Ке. Если мы соединим эти точки отрезком внутри Ке, то получим непрерывную замкнутую кривую на Т2, обозначаемую 7/,. Она имеет гомотопический тип (1,0), поскольку вне КЕ ее наклон меньше 1, и она пересекает каждую “вертикальную” окружность у = const ровно в одной точке. Следовательно, кривая пересечет Д ровно в одной точке ps. Эта точка не может лежать внутри К£, поскольку Д не пересекает К£. Следовательно, это действительно неподвижная точка Р£. Поскольку ps лежит вне К£, она является устойчивой.
Повторяя те же рассуждения в приложении к функции Рр1, что соответствует обращению времени, получим неустойчивую неподвижную точку ри, лежащую вне К£. □
Докажем утверждение 4 теоремы 1.2: существование и единственность