Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений : Методы и приложения

• Автор: Беркович, Лев Мейлихович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 464 с.; 20х15 см

Глава 1. Метод факторизации обыкновенных дифференциальных операторов

1. Кольцо дифференциальных операторов Ко (12)

2. Делимость в кольце ЕЬ[22]

3. Факторизация в основном дифференциальном поле Ро

4. Преобразование сопряжения и самосопряженные дифференциальные операторы

5. Операторное уравнение в кольце Р0 Р и результантные матрицы

6. Аналог теоремы Кронекера-Капелли

7. Условия коммутативности двух дифференциальных операторов взаимно простых порядков

8. Теоремы существования и различные формы факторизации операторов п-го порядка

9. Факторизация операторов 2-го порядка в квадратичном расширении

10. Факторизация операторов в трансцендентных лиувиялевых расширениях поля Ро

11. Факторизация и интегрирование уравнения Альфана и системы Ламе-Альфана
Примечания к гл1
Глава 2. Родственные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
1. Преобразование Куммера-Лиувилля и постановка задачи Куммера
2. Условия приведения к наперед заданному виду
3. Приведение к уравнениям с постоянными коэффициентами
4. Уравнение Ермакова
5. Присоединённые нелинейные уравнения
6. Решение задачи Куммера
7. Симметрии линейных уравнений второго порядка
8. Присоединенные линейные уравнения
9. Специальные виды факторизации
10. Последовательности «размножаемых» уравнений
11. Процедура базисного «размножения»
12. Основная последовательность родственных уравнений
13. Задача Эйлера и преобразование Эйлера-Имшенецкого-Дарбу для неполных линейных уравнений
14. Процедура «размножения» уравнений с помощью преобразования ЭИД
15. Задача Эйлера и преобразование ЭИД для полных линейных уравнений
16. Интегрирование уравнений с помощью программы SOLDE
Примечания к гл2
Глава 3. Задачи Альфана
1. Постановка задач, терминология
2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка
3. Канонические формы Альфана и Форсайта для уравнений 3-го порядка
4. Условия эквивалентности и канонические формы линейных уравнений 4-го порядка
5. Инварианты и канонические формы линейных уравнений 5-го порядка
6. Инварианты и канонические формы линейных уравнений n-го порядка
7. К вопросу о нахождении инвариантов для уравнения п-го порядка
8. Приводимые линейные уравнения
9. Решения приводимых уравнений и присоединенных нелинейных уравнений
Примечания к гл3
ГЛАВА 4. Метод автономизации
1. Нелинейные ОДУ с приводимой линейной частью
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера
3. Специальный случай КОУЭФ для п
4. Обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова и метод автономизации

Из (9) находим первые интегралы
у" -г 3-и2 = д2, |-и'2 4- V3 = д2у - 2д3. (11)
Подставив (11) в (10), придём к алгебраической кривой (6).
2) Применим правый дифференциальный алгоритм Евклида для операторов М и Ь, где М = Т>3 +1ьТ> 4- |г/ — Д, Ь = V2 +• V — А. Здесь V, А и Д
имеют те же значения,_что и в 1). Имеем последовательно: М = (}Ь 4- 5, где <9 = и, 3 — (1/2+Х)Т>~ 1 /4у' — д. Далее (1/2н4- А)2£ = ^1<5'+5'х, где <91 = (1/2 4- Х)Т> + (—1/4-1/ 4- Д), а 5х удовлетворяет (10). Следовательно, вновь придём к эллиптической кривой (6). •
Предложение 1. Для пары (3) система (1) имеет следующий явный
вид:
у" - (2р(а?) 4- Х)у = 0, у"' - Зр(х)у' - ^|р'(а:) 4- у = 0. (12)
• Решением уравнения (11) и, следовательно, (9) является V = —2§з(х), где р(х) — эллиптическая функция Вейерштрасса. Тогда и — —2р{х)

а потому коэффициенты (4) примут вид А2 = —р{х), А3 — 4- с2,
откуда придём к (12).«
7.3. Уравнение КдФ
Как известно (см., например, Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский [127], Лаке [160]), уравнение КдФ (нестационарное) можно представить в виде коммутационного соотношения Ь — [Ь,М], где Ь, М удовлетворяют (3). При этом предполагается, что и — и(х, 4). Таким образом, КдФ можно записать в виде
щ = и4- 6ии; 4- 12сх-и/, Сх Д 0, (13)
щ — и’" 4- 6гш;, с = 0. (14)
Найдём гак называемое односолитонное решение уравнения (14). Подстановка £ = х — с4 приводит его к СКдФ вида 4- бищ 4- си^ = 0, отличающемуся от (5) только выражением для коэффициента в последнем слагаемом. Поэтому уравнение (14) допускает решение типа бегущей волны и(х — с4) — —2р(х — с4) — А односолитонное решение, удовлетворяющее
начальным условиям и(х) = ~2дзеса 4=0, таково: и(х, 4)
= ~2д$есЪ2 Д-~д(х — 4д) = —с/2зесЬ2 f-cj2(х — с4).