Построение ядер выживаемости в нелинейных задачах управления

• Автор: Незнахин, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 132 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. СЕТОЧНЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ЯДРА ВЫЖИВАЕМОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
§1. Постановка задачи
§2. Дискретизация по времени
§3. Полностью дискретный алгоритм
Глава II. ПОСТРОЕНИЕ ЯДРА ВЫЖИВАЕМОСТИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§1. Постановка задачи
§2. Дискретизация по времени
§3. Полностью дискретный алгоритм
Глава III. ПОСТРОЕНИЕ ЯДРА ВЫЖИВАЕМОСТИ С ОГРАНИЧЕННЫМ БЛУЖДАНИЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
§1. Постановка задачи
§2. Дискретизация по времени
§3. Полностью дискретный алгоритм
Глава IV. ОДИН СПОСОБ ВИЗУАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ, ЗАДАННЫХ СВОИМИ СЕЧЕНИЯМИ
§1. Алгоритм сглаживания сечений
§2. Алгоритм соединения сечений
§3. Визуализация ядер выживаемости некоторых систем Ю
Приложение. ПОСТРОЕНИЕ £ -ВЫЖИВАЮЩИХ РЕШЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
clR*1 - множество замкнутых подмножеств в Жт; с1Х - замыкание множества X с IR'"; соХ - выпуклая оболочка множества X а Мт; а(Х,%)) - хаусдорфово расстояние между множествами X, определяемое как
а(Х, 2}) = max {sup dist(x, ф), sup dist(y, X)},
хеХ yeS)

dist(x, 2}) = inf{||x - y\: у e %)},
||x|| - евклидова норма вектора хсГ;
Х£ - s-окрестность множества Icl” (s > 0); convK.OT - множество всевозможных подмножеств в М"'; ju(X) - мера Лебега множества X с Мт;
Л(Х) - граница множества ХсК”;
х'у - скалярное произведение векторов х и у из I".
Введение
Вопросы, рассмотренные в настоящей диссертации, связаны с изучением динамических систем, стесненных фазовыми ограничениями и функционирующих на конечном промежутке времени. Необходимость изучения таких систем вызвана многочисленными задачами из различных областей механики, экономики, экологии и биологии. Развитие математической теории управления динамическими системами в условиях неопределенности и конфликта [14, 15, 21, 24, 27] также обусловило значительный интерес к изучению управляемых систем и дифференциальных включений, стесненных фазовыми ограничениями.
Современный облик теории динамических систем, стесненных фазовыми ограничениями, в значительной степени определяется работами А.Б. Куржанского, А.Я. Дубовиикого, A.A. Милютина, Р.В. Гамкрелидзе, Ж.-П. Обэна и других авторов. Существенный вклад в развитие этой теории внесли С.М. Асеев, A.B. Арутюнов, В.И. Благодатских, Т.Ф. Филиппова, X. Франковска, П. Сент-Пьер, М. Куинкампуа и другие.
Диссертация, в основном, посвящена изучению нелинейных управляемых систем и связанных с ними дифференциальных включений, стесненных фазовыми ограничениями. Предполагается, что управляемая система имеет вид
x = f(t,x,u), (0.1)
и стеснена фазовыми ограничениями
(/,1)еФсИх1"‘, ueiр, (0.2)
где 3 = [t0,O] - конечный отрезок времени, Ж'” - фазовое
пространство системы (0.1), ф - компакт в пространстве управлений Шр.
Системе (0.1) сопоставляем дифференциальное включение
х е F(t,x), (0.3)
где Fit,х) = со{/(t,х,м):«еф}.
Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями -достаточно молодой раздел теории дифференциальных включений.

('Пп’хЛп') найдется точка (г]п,хп), хпеС1п(г}п) такая, 'что
Таким образом, для точки (Д,х*) при каждом п найдется такая точка (д,, х„), где „ = ги (4), х„ е (т7„), что
||(/.,х.) - (^,х„)|| <|/. - т]п | + ||х, - х[77я]|| + ||х[77„] - х„| < Д;г + КАп + .
Принимая во внимание предельные соотношения
1тАи=0, Птдп=
я—»СО Л-»СО
(см. замечание 1.1), получаем, что последовательность {07„,хл)}] где n=tn(tt), хпе 0.п(г]п), удовлетворяет предельному соотношению
(*.,Х,) = 1Ш1(77 х„).

Значит (Д,х*) е О0. Тем самым показано, что 0.(Ъ) с О.0 (и) при и<9.
Из соотношений 0.(в)а€1в) и П(/,)сО0(4), Г*<0, следует включение ПсП°. !
Из включений 0°с11, О с О0 следует, что О - О0. Теорема 1.1 доказана. ;
Замечание 1.1. Справедливо предельное соотношение
1тёп=0. (1-24)

Доказательство. Оценим сверху величину ёп. Оценку проведем методом индукции. При этом сначала докажем, что для любого номера / = п, п-1,..., О верна оценка
~(<) <е(*-/дл.(п-1)ф(Ап). (1.25)
В самом деле, при г = п имеем ё(п) = 0, и неравенство (1.25), очевидно, выполнено.
При / = п -1 имеем
Г-" = й>(Л„) + (1 + 1Д„)г(’> = ®(Д,) < е“-®(Д,г),
и неравенство (1.25) выполнено.
Пусть при некотором номере / е (0,1,..., п -1} верна оценка