Решение краевых задач для многомерных вырождающихся B-эллиптических уравнений методом потенциалов

• Автор: Чеботарева, Эльвира Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 133 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Краевые задачи для многомерного вырождающегося В-эллиптического уравнения первого рода
§1. Формулы Грина
§2. Фундаментальное решение
§3. Интегральное представление решения
§4. Свойства решений уравнения
§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана.
Теоремы единственности
§6. Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства
§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям 41 §8. Исследование интегральных уравнений
Глава 2. Краевые задачи для многомерного самосопряженного вырождающегося В—эллиптического уравнения
§1. Фундаментальное решение
§2. Формулы Грина
§3. Интегральное представление решения
§4. Свойства решений уравнения
§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

§6. Потенциалы простого и двойного слоев
§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям 66 §8. Исследование интегральных уравнений
Глава 3. Краевые задачи для многомерного вырождающегося 5—эллиптического уравнения второго рода
§1. Фундаментальное решение
§2. Интегральное представление решения
§3. Свойства решений уравнения
§4. Постановка краевых задач DE и NE. Теоремы единственности .
§5. Потенциалы и их свойства
§6. Существование решений краевых задач
Глава 4. Краевые задачи для вырождающегося сингулярного В— эллиптического уравнения
§1. Фундаментальные решения
§2. Интегральные представления решений
§3. Свойства решений уравнения
§4. Постановка краевых задач. Теоремы единственности
§5. Потенциалы простого и двойного слоев
§6. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
§7. Исследование интегральных уравнений
Литература

Введение
Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой важный раздел современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упругости, механике сплошной среды и др. К числу первых в этой области относится работа М.В. Келдыша [19], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяться условием ограниченности решения. Позже A.B. Бицадзе в работе [7] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.
Теория вырождающихся эллиптических уравнений дальнейшее развитие получила в работах И.А. Кароля [17], К.Б. Сабитова [38, 39], P.C. Хай-руллина [46], P.M. Асхатова [2], JI.C. Парасюка [35], А.М. Нигмедзяновой [34]. Хисматуллин А.Ш. некоторые результаты этой теории распространил на вырождающиеся ТЗ- эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными.
Уравнения эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действуют операторы Бесселя и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И.А. Киприяновым были названы В— эллиптическими [20, 22]. Под вырождающимся ТЗ-эллиптическим уравнением следует понимать уравнение, в котором вырождение осуществляется по переменным, свободным от оператора Бесселя. Так, например, при у ^ 0 уравнение вида
вырождающееся ТУ эллиптическое уравнение первого рода, уравнение вида
есть вырождающееся ТЗ-эллиптическое уравнение второго рода, а уравнение
(0.1)
где Вх — -I- — оператор Бесселя, к > 0, т > 0 — постоянные, есть
Вхи + = 0, т >

(0.2)

Іе = I А[Є'(Ьх)]$_і(ЬтЄі

/" = І л[^;х)]^_Л.
Легко убедиться, что
Или Ц = 0.

Учитывая (1.21), преобразуем второй интеграл:
К = [ А
_Г№)„-Л
4тгі Р-1’0 р°
!А [Ср-1& 'Рх/] Єр- 1&7є = Г(¥)^

X* /у* 4 V
ПХг>П ^
£ ^р1,0^р

тп к
Єр4 Єр-

ЄІ-і<ье

< г(¥) -і

Е Яр-І^рО
/ ш г (У)

Е ~р-
/ РхГл чд]

т _ к Г о 1 I
Єр 4 Єр-А Рх£Р Єр-1 Не-
очевидно, что
Иш Л = Нт
г(¥),
Е -^р-РО^рО
£—»о £—>о 4я
Запишем интеграл / р%т'Л [є*-
тп к
V 4 Єр-
Єр-І^Е = 0.

47Т| *р-1.о*ро
тп к
є~Р4єил

(1(7г —
(1.62)
(1.63)