Классы корректности краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

• Автор: Попов, Сергей Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 252 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§1.1 Введение
§1.2 Вспомогательные сведения к главе
§1.3 Вспомогательные сведения к главе
1.3.1 Гельдеровские пространства
1.3.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений
§1.4 Постановка контактных задач математической физики
1.4.1 Погранслойное приближение в диффузионных уравнениях
1.4.2 Пограничный слой Прандтля
1.4.3 Стационарная фильтрация двухфазной жидкости
1.4.4 Ортогональные преобразования
1.4.5 Сопряжение потоков
1.4.6 Встречные потоки
1.4.7 Противоположные спутные потоки
1.4.8 Односторонние спутные потоки
1.4.9 Ортогональные потоки
1.4.10 Косое соударение
1.4.11 Задачи типа дифракции
2. ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§2.1 Введение
§2.2 Краевые задачи для уравнений нечетного порядка
2.2.1 Сильная разрешимость краевой задачи для уравнений
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2.2.2 Гладкость решений
2.2.3 Некоторые уточнения
2.2.4 Уравнения произвольного нечетного порядка
2.2.5 Гладкость решений
2.2.6 Гладкость решений одной краевой задачи
§2.3 Уравнения четного порядка

§2.4 Краевые задачи для уравнений общего вида
2.4.1 Сильная разрешимость
2.4.2 Гладкость решений
§2.5 Применение общей теории
2.5.1 Уравнения с меняющимся направлением эволюции
2.5.2 Уравнение третьего порядка
3. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ
§3.1 Введение
§3.2 Уравнения высокого порядка
§3.3 Уравнения второго порядка
3.3.1 Сингулярные параболические уравнения
3.3.2 Параболические уравнения общего вида
3.3.3 Уравнения со сдвигом
§3.4 Итерированные уравнения теплопроводности
3.4.1 Локальные краевые задачи
3.4.2 Нелокальные краевые задачи
4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ
§4.1 Введение
§4.2 Постановка задачи
§4.3 Предположения, вспомогательная задача
§4.4 Оценки градиента решений слабо вырождающихся параболических уравнений
§4.5 Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся
параболических уравнений
§4.6 Примеры образования встречных потоков
4.6.1 Уравнение Прандтля-Мизеса
4.6.2 Система теплового пограничного слоя
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ
Теория краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени в последние годы привлекают внимание многих специалистов по теории дифференциальных уравнений в частных производных. Имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных авторов. в которых поставлены и исследованы краевые задачи для такого вида уравнений. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М.Жевре [83].
Новым этапом в развитии этой теории явились работы, связанные с операторно-дифференциальными уравнениями вида
ВтМ + ВиЩ, 16 [О,Г], (0.1.1)
где Ь, В - самосопряженные операторы, определенные в гильбертовом пространстве Н. В случае Д(-В) С Л(£) подобные уравнения обычно называются уравнениями типа Соболева. Для уравнений типа Соболева часто корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация, в случае если уравнение не является уравнением типа Соболева и спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси.
Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике. Для уравнений типа Соболева это задачи гидро и газовой динамики, теории упругости и некоторые другие [15, 273, 66, 181, 250, 300, 119, 132, 116]. Для уравнений не типа Соболева входят так называемые кинетические уравнения [54, 115, 21, 39], описывающие диффузионные процессы, броуновское
При выполнении некоторых ограниченний на входные данные доказана теорема 4.3 о существовании обобщенного решения задачи (0.1.54), (0.1.55).
В пункте 4.6.2, аналогично изотермическому (в = const) случаю рассмотрена задача, о встречных потоках для системы
•/ш(аи)ф)ф - и0(х)шф - Sgnwu-'z = jpx,
(0.1.56)
(<Ту/ык$)ф - - sgnuhx = 0, (х, ф) Є R,
где R = (0,1] х (0, +оо), со(х,ф) — горизонтальная составляющая вектора скорости течения жидкости, Іі(х,ф) = (о;2 + 6 — полная энергия, в — энтальпия, г ,(х‘) — расход жидкости, соответствующий вдуву [vq > 0) или отсосу (до < 0) через пористую стенку, а (в) = рр = р/ср, т.е. Рг = 1.
Для системы (0.1.56) рассматривается задача о встречных потоках
(-1)кщ(к,ф) = щк(ф) >0, ф> 0 (i = 1,2; к — 0,1):
(0.1.57)
сд(ж,0) = 0, h(x,0) = hi(x), х Є [0,1],
и—> UU при ф —> oo.
Здесь u = (й>.і h) s («1,112), U — скорость внешнего потенциального течения, связанная с градиентом давления рх соотношением рх = —pXJU'. При выполнении некоторых ограниченний на входные данные доказана теорема 4.4 о существовании обобщенного решения задачи (0.1.56), (0.1.57).
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах по "Уравнениям