Теоретико-групповые свойства некоторых интегро-дифференциальных уравнений

• Автор: Селехман, Николай Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 143 c. : ил

Глава I. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЩАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Построение алгебры инвариантности псевдодифференциальыых уравнений

§2. Симметрия некоторых псевдодифференциальных уравнений

§3. Псевдодифференциальные уравнения, инвариантные

относительно группы Шредингера и конформной группы 31 §4. О симметрии псевдодифференциальных уравнений со

взаимодействием

§5. Нелокальная симметрия некоторых дифференциальных

уравнений

Глава II. СИММЕТРИЙНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРО-ДИШШЩИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЕ

§6. Построение алгебры инвариантности и законов сохранения интегро-дифференциальных уравнений
§7. Групповые свойства интегро-дифференциальных уравнений инвариантных относительно группы конформных
преобразований и группы Шредингера
§8. Симметрийные свойства интегро-дифференциальных
уравнений для электромагнитного и спинорного полей 77 §9. Симметрийные свойства уравнений статистической
физики
§10. Законы сохранения некоторых интегро-дифференциальных уравнений

Глава III. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРО-ДШФЕРЕНЩАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§11. Решение задачи Коши для одного класса интегродифференциальных уравнений
§12. Редукция числа переменных в интегро-дифференциальных уравнениях, инвариантных относительно
групп преобразований
§13. Вольтерровские решения интегро-дифференциальных
уравнений специального вида
ЛИТЕРАТУРА

В последнее время заметно возрос интерес к исследованию групповых свойств дифференциальных уравнений. Это вызвано главным образом двумя причинами: а) групповые методы дают возможность построить интегралы движения для системы, описываемой исследуемыми уравнениями; б) с помощью групповых методов можно найти точные решения исследуемых уравнений.
Групповые свойства дифференциальных уравнений изучаются, главным образом, классическим методом С.Ли /71, 23, 24, 36, 37/. При исследовании групповых свойств уравнений различают прямую и обратную задачи группового анализа. Прямая задача заключается в нахождении симметрии данного уравнения. Поскольку группа инвариантности (в смысле С.Ли) произвольного уравнения, вообще говоря, тривиальна, то важной задачей группового анализа становится описание уравнений инвариантных относительно заданных групп преобразований. Эту задачу, следуя Л.В.Овсянникову /37/, будем называть обратной симметрийной задачей. С другой стороны, уравнения, используемые для описания физических явлений, как правило, обладают нетривиальной симметрией. Более того, свойство инвариантности относительно определенных групп преобразований является одним из критериев отбора "нужных” уравнений. Именно поэтому успехи групповых методов исследования дифференциальных уравнений тесно связаны с изучением уравнений, которые априорно обладают некоторой симметрией, - уравнений теоретической и математической физики (см. /37, 48/ и приведенную там библиографию).
Для исследования групповых свойств более широких классов уравнений (например, интегро-дифференциальных) или же для нахождения симметрий, которые не могут быть обнаружены в клас-

Следовательно, вопрос в том, как ведет себя оператор £? р при преобразовании Н &ри~1 . Заметим, что б~2 кошутирует с произвольной матрицей М вида

Л 0.з
^ Л
Именно такой структурой обладают операторы Н$ , Ыч , /) ,
5/^ • Очевидно также, что [&± = 0 . Поскольку оператор перестановочен с произвольной функцией от Г , то имеем
следующий результат # Сгріі'1 = бір ; т.к. &<Гг г Гв
= (1-І. 0 -І I 0), то уравнения (2.6) после преобразования принимают вид:
иФ, г
р, % -- р (а? * &%} = (л
р, %-.р(-аГг + і &) Р° % = р(* %-№) (5,6а)
р. Рз = і р К рЛ(, -- &р ?!
Введем новые функции
% *Р
% * ?! = Р
Г.-Ь, %: Р