Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях

• Автор: Полынцева, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 155 с.

Глава 1. Вспомогательные предложения

1.1. Основные определения и теоремы

1.2. Принцип масимума

1.3. Общая формулировка метода слабой аппроксимации

1.4. Теорема метода слабой аппроксимации

Глава 2. Задачи идентификации двух различных коэффициентов

многомерного параболического уравнения

2.1. Задача определения функции источника и коэффициента

при младшей производной

2.1.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче

2.1.2. Разрешимость прямой задачи

2.1.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи
2.2. Задача идентификации коэффициентов при младших производных
2.2.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче
2.2.2. Разрешимость прямой задачи
2.2.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи
2.3. Задача идентификации двух старших коэффициентов
2.3.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче
2.3.2. Разрешимость прямой задачи
2.3.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи

Глава 3. Задачи идентификации трех и четырех коэффициентов
многомерного параболического уравнения
3.1. Постановка задач
3.2. Задача идентификации трех младших коэффициентов
3.3. Задача определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных
3.4. Задача определения функции источника и коэффициентов при первой и второй производных
3.5. Задача идентификации трех старших коэффициентов
3.6. Задача идентификации четырех коэффициентов
Глава 4. Задача определения коэффициентов при производных
по времени и пространственной переменной
4.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче
4.2. Разрешимость прямой задачи
4.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи
Заключение
Список литературы

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, границы области, граничных или начальных условий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов и др. приводят к обратным задачам.
Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 30-40 лет в связи с их важным прикладным значением. Они находят приложения при решении задач мониторинга окружающей среды, управления процессами, планирования разработки нефтяных месторождений, при созданнии новых приборов, аппаратов и др.
Обратную задачу называют одномерной в том случае, если идентифицируемые коэффициенты или функция источника зависят от одной переменной, в противном случае она многомерная.
Первые исследования в теории обратных задач связаны с задачами сейсмики. В одномерном случае такие задачи впервые были рассмотрены Г. Герглотцем [82] и Е. Вихертом [95]. Теорема единственности решения сложной многомерной обратной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно-аналитических функций впервые была доказана Ю.М. Березанским в работе [24]. Различные многомерные обратные задачи впоследствии были исследованы М.М. Лаврентьевым [45, 46, 48], В.Г. Романовым [66, 68],
Ю.Е. Аниконовым [1, 4], А.И. Прилепко [57, 58], А.Д. Искендеровым [33, 34], М.В. Клибановым [40], Н.Я. Безнощенко [12, 14] и др.
Одним из сложных для исследования классов обратных задач являются коэффициентные. Коэффициентные обратные задачи - задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновенных или в

Q = ^ - Ьх(-ф) + к(і) J y2v(t,x,y)elby dy - f(t,x,b),

запишем систему (2.2.7) в виде
+оо
ia(t, х) I yv(t, x, у) dy + g(t, x)ip = P,

+00
ia(t,x) J yv(t, x, y)elby dy + g(t, х)ф = Q.
(2.2.8)
(2.2.9)
Предполагая, что определитель Д = Д(£, х) системы (2.2.9) отличен от нуля:

г yv(t, ж, у) б?г/ <Р
-ОО ’
гЛ^Уу^’х’УУЬу dy $
находим решение системы (2.2.9):
(2.2.10)
,, , _ Qi f-Z yv(f’ у) dv ~ Pi f-Z уу(*> x> y)eiby dy
g(t, X) — ,
a(t,x)
Pip — Qg>
(2.2.11)
Таким образом, функция н(^ж,у) является решением задачи ^ = Ьх(у) - /<%2н + {уР^
Qif-ZУv(t’x’У)dУ--pif-ZУv(t’x’У)eibydУ , г,/, N
+ и + Р(г,ж,у),
(2.2.12)
(2.2.13)
н(0,ж,у) = н0(ж,у), (ж,у)е£п+ь
где г>о(ж,у) = Р(щ)(х,у) - преобразование Фурье функции щ по г.
Так как мы ищем действительнозначное решение а(£, х), д(Ь,х), м(£, ж, г) задачи (2.2.1)-(2.2.4), то в уравнение (2.2.12) вместо (2.2.11) поставим соответственно
11е{(Э1 ун(£, х, у) dy - Ргуу(1,х,у)егЪУ dy}
(2.2.14)
у(£,ж)

a(t, ж)
Re{Pip — Qip}