Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром

• Автор: Лукащук, Вероника Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 110 с.

Оглавление
Введение
1 Классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами
§1 Приближенная алгебра Ли
§2 Приближенная алгебра Ли с двумя существенными векторами
§3 Приближенная алгебра Ли с тремя существенными векторами
§ЗЛ Шестимерная приближенная алгебра Ли
§3.2 Пятимерная приближенная алгебра Ли
§3.3 Четырехмерная приближенная алгебра Ли
2 Подобие приближенных групп преобразований
§4 Реализация приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка
§5 Система дифференциальных уравнений для преобразования
подобия
§6 Условие полноты системы
§7 Условие совместности системы
§7.1 Случай линейно несвязных операторов
§7.2 Случай линейно связных операторов
3 Классификация неподобных приближенных алгебр Л[и дифференциальных операторов в К2 и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром

§8 Реализация приближенных алгебр Ли с двумя существенными
векторами
§9 Реализация приближенных алгебр Ли с тремя существенными
векторами
§9.1 Неподобные шестимерные алгебры Ли
§9.2 Неподобные пятимерные приближенные алгебры Ли
§9.3 Неподобные четырехмерные приближенные алгебры Ли
§10 Дифференциальные уравнения с малым параметром, допускающие приближенные алгебры Ли
§11 Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с двумя существенными приближенными
симметриями
§12 Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с тремя существенными приближенными симметриями
Заключение
Список литературы

Введение
Групповой анализ дифференциальных уравнений возник в середине XIX века в работах выдающегося норвежского математика Софуса Ли. Основная цель его трудов - перенос теории Абеля-Галуа о разрешимости алгебраических уравнений на обыкновенные-дифференциальные уравнения. Исследования в этом направлении привели С. Ли к созданию теории непрерывных групп преобразований, названных впоследствии группами Ли преобразований.
Благодаря доказанным С. Ли теоремам, группам Ли могут быть поставлены в соответствие алгебраические объекты - алгебры Ли. С. Ли был предложен ряд методов, которые с использованием алгебры Ли операторов, допускаемой обыкновенным дифференциальным уравнением, позволяют понизить порядок уравнения и найти его решение. В частности, им разработан метод канонических переменных, позволяющий проинтегрировать в квадратурах обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее двумерную алгебру Ли операторов. В случае, когда такое уравнение допускает трехмерную алгебру Ли, им был предложен метод нахождения интегралов.
Построение классов дифференциальных уравнений, допускающих двух-и трехмерные алгебры Ли операторов, базируется на классификациях неизоморфных структур алгебр Ли и неподобных алгебр Ли операторов. Задача классификации неизоморфных двумерных и трехмерных алгебр Ли была решена в работах С. Ли (см., например, [19], [34]), Л. Бианки (см., например, [19]). Для алгебр Ли более высоких размерностей такая задача рассматривалась в работах Г.М. Мубаракзянова [28],[29], A.B. Аминовой [1] и их коллег. Подобие алгебр Ли операторов, а также его использование для анализа симметрийных свойств дифференциальных уравнений, рассматривалось в работах С.Ли (см., например, [19]), Л.П. Эйзенхарта [46], Л.В. Овсянникова [31], П. Винтернитца [65], Н.Х. Ибрагимова, М.К. Нучи [54], П. Лича [61),
отношениями
^6,1 : е2,ез]=ее1, [ез, ех] = 0, [е1,ег]=0;
^6,2 : е2, бз] = 0, [е3, еХ] = 0, [е1; е2] = ееХ.
Аналогично находятся остальные неизоморфные алгебры с тремя существенными векторами вида (1.1). Все построенные неизоморфные приближенные алгебры Ли приведены в таблице 2.
Таблица
Шестимерные неизоморфные приближенные алгебры Ли
Коммутационные соотношения
[е2> бз] [е3, 61] [ех, е2]
£<3,1 0 0
сИтп Ь' =
£<з,1 0
£б,2 0 0 Евх
сИт и —
С] 0
£<3,2 01 0 Евх
£<3,3 0 0 ех
Ь1,4 ее! ±ее2
Ь|,5 ев! + аее2 ±ее2
£<з,а ее2 аев!
£б,7 0 ее2 £В
£<5,8 ее2 0 £В
йгт V
£2,1 61 ЕС 1 + £е2
£(3,2 61 бе2
£е,з 61 ее2 ее
£(5,4 ее2 + £в3 —ее ее
£1,5 аев1 + ее3 Ев-1 + р£в2 ее
£1,6 аеег + ее2 ее2 ее
£1,7 аеех + ее3 /Зге2 ее
£|,8 ОсЕв 2 + £е3 Евх £6.
£1,9 Ев1 Ев3 а£е