Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа

• Автор: Брусенцев, Александр Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 222 с.

СВОДКА ОС1ЮВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА 1. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА В Д,(<7) И

МЕТОД ИСПРАВЛЯЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ

§1.1. Основные локальные условия

§1.2. Построение исправляющих потенциалов

§1.3. Приграничное поведение потенциала полуограниченного эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном

§1.4. Самосопряженность в существенном пеполуограниченных

эллиптических операторов в 7-2(0)

§1.5. Случай оператора Шрсдингсра

ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНАЯ ТЕОРЕМА Г. ВЕЙЛЯ И ЗАМЫКАНИЕ

В МЕТРИКЕ ОБОБЩЕ11НОГО ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕ
§2.1. Теорема Вейля для многомерного случая
§2.2. Накрывающие семейства и самосопряжённость в существенном операторам
§2.3. О замыкании множества финитных функций в метрике
обобщенного интеграла Дирихле
ГЛАВА 3.0 САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В СУЩЕСТВЕННОМ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§3.1. Условия полумаксимальности двучленного эллиптического
оператора порядка 2т
§3.2. Пример позитивного опертора (-Д)”+ у(.т) с ненулевыми
индексами дефекта

ГЛАВА 4. I 1ЕСАМ0С0ПРЯЖЕ1 II1ЫЕ ЭЛЛИ1ГГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ПРОИЗВОЛЕ! ЮГО ПОРЯДКА
§ 4.1. Локальное строение области определения рассматриваемых
операторов. Принцип расщепления
§ 4.2. Операторы в частных производных как суперпозиция
одномерных
§ 4.3. Некоторые вспомогательные результаты
§ 4.4. Основные теоремы о совпадении минимального и
максимального операторов
§ 4.5. Простейшие следствия из основных теорем о совпадении
А„, и Ад,
§ 4.6. Условия совпадения минимального и максимального операторов в терминах ограничений на символ дифференциального выражения
§ 4.7. Критерии существования регулярной точки и дискретности
спектра
§4.8. О ./-самосопряженности эллиптических операторов, не
удовлетворяющих условиям Титчмарша-Сирса
ЛИТЕРАТУРА
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
Условимся о некоторых обозначениях, которых будем придерживаться на протяжении всей работы.
(•,•), И - скалярное произведение и норма в унитарном пространстве Е (dim/: <оо).
(’>')> II ’II ~ скалярное произведение и норма в бесконечномерном гильбертовом пространстве.
G - открытое множество в вещественном //-мерном евклидовом пространстве R".
L2(G) - пространство квадратично интегрируемых в G гкомпонситных вектор-функций; L2{G)~ L2(G).
IV2J r(G)- пространство Соболева порядка j /-компонентных вектор-функций; И Г'(С) = Wj2G).
II'2/ос (G) - множество вектор-функций, нринадлежащих W2 ( Q), где £1 - любая ограниченная область, такая, что ПсС.
Cq ’(G) - множество бесконечно дифференцируемых вектор-фупкций, имеющих компактный носитель внутри области G; С0”((7)= C^J(G).

Н'2 (С) - пополнение Co'r(G) в метрике пространства iV2'r(G).
LiprJoc(G) - множество /-компонентных вектор-функций f (х), определенных dCii удовлетворяющих при некотором ае (0,1] условию
l/(-v„+r)-/(-v0)l = O(b'|") при |у|-»0, (*)
для любой точки д'0б G. При этом константа в 0{ ■), вообще говоря, зависит OT-V,,.
Lip::l(G) = UpZ(G) (а=1).

<^Ф*Ф)+А'||ф||2> J( 1+0(t1))2(//Vi1,Vti) |ф і 2 сіх

с функцией ц{х)е Lipj',l(G), 0<ц(х)-^са при x->dG такой, что при константах С, т>0
е2, (1.2.11)
то при выполнении условии А оператор L самосопряжён в существенном.
Доказательство состоит в проверке условий следствия 1.2.1 при
к»)
р(х)= J0(t>/t

и одноименном р(.г).
Лемма 1.2.1. Если оператор T=L+p2(x), где функция р{х)<= Lip)]^.{G)
и вещественна, самосопряжен в существенном и для некоторого N> 0 и
всех ф g СJ ( G)
Ц/>Ф,/>Ф)" {ЛУрУр) |ф 12Л>-||іф ||2/2-Л,|| фI2, с,
то оператор L также самосопряжён в существенном.
Доказательство. Согласно предложению 2.1 для всех фєС^(С) LC/Дф,/->ф)= j(AЧрУр) |ф 12dx + Re(/Лр.іф).
Поэтому при наших условиях
2Ке(/?2ф,/,ф)>-||/лр II2 — 2 /V II (р II2.
Следовательно
|| Гф||2 + 2/У||ф ||2 —1| Аф ||2 + 2 Ее||/;2ф||2, то есть оператор умножения па -р2(х) Г-ограничен с Т'-граиыо 1. Поэтому (см. [53], гл.5, §4.2)Е=Т-р2 самосопряжён в существенном.
Следствие 1.2.3. Пусть выполнено условие А. Если при некотором К> 0 и всех ф е С0 (С?) выполнено неравенство