Устойчивость и периодические решения некоторых классов систем дифференциальных уравнений в критических случаях

• Автор: Григорьев, Марк Петрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 114 c. : ил

Одной из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения в окрестности начала координат траекторий автономной системы дифференциальных уравнений
(0-1)
где К -постоянная ненулевая матрица порядка аналитическая в точке ^с_-о вектор-функция, -°.
Основополагающие результаты в этом направлении были получены А.Пуанкаре 1361 и А.М.Ляпуновым *ЛОписание поведения решений системы (0.1) в окрестности начала координат сравнительно просто, если все собственные числа матрицы имеют ненулевые действительные части. В этом случае, по
теореме А.Пуанкаре _3б, поведение траекторий системы (0.1) в некоторой окрестности начала координат топологически эквивалентно поведению траекторий системы
(0.2)
Для случая, когда в системе (0.1) матрица ^ имеет К собственных чисел с нулевыми и п.-к. собственных чисел с отрицательными действительными частями, В.А.Плиссом зб был предложен так называемый принцип сведения, согласно которому изучение устойчивости нулевого решения системы (0.1) сводится к изучению некоторой системы на к. -мерном инвариантном многообразии.
Если в системе (0.1) матрица А имеет к. собственных чисел с нулевыми, т. собственных чисел с отрицательными и кх-т-у. собственных чисел с положительными действительными частями, то, как показали А.Н.Шошитайшвили и А.А.Рейнфельд [371. существует функция ММ4-0^ удовлетворяющая условию Липшица в некоторой окрестности точки ^ —^ -> такая, что система (0.1) в некоторой

окрестности начала координат топологически эквивалентна системе

(0.3)
cbt -З 'І Ода.
> »«ft**"1,
Таким образом, в двух последних случаях задача исследования устойчивости нулевого решения системы (0.1) сведена к задаче исследования системы вида (0.1) меньшей размерности, у которой собственные числа матрицы А. имеют лишь нулевые действительные части (критические случаи). Актуальность решения проблемы устойчивости движения в критических случаях следует уже из того, что любая задача об устойчивости консервативных систем приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений, определяющее уравнение которой тлеет нулевые и чисто шшлые корни.
Критические случаи достаточно хорошо изучены для двумерных систем. Изучение критического случая пары чисто мнимых корней было начато А.Пуанкаре [зб]. Его результаты были значительно обобщены и углублены А.М.Ляпуновым М- А.М.Ляпунов в этой работе решил вопрос об устойчивости нулевого решения и дал три способа исследования проблем центра и фокуса. Значительное продвижение вперед решение проблемы различения центра от фокуса для отдельных классов систем получило в работах М.И.Альмухамедова [з-б], и.о. Куклеса [22-24] , Н.А.Сахарникова [44-45], К.G.Сибирского А.П.Садовского Гз8-4з], И.И.Широва [54-56І, В.И.Володченкова [is-is] и других. Но несмотря на большое число работ, посвященных ей, проблема различения центра и фокуса до сих пор решена только для отдельных частных случаев. Достаточно полная библиография этой проблемы приведена в [46] (см.также И).
В более поздней работе [28] А.М.Ляпунов решает задачу об устойчивости решения двумерной системы (0.1) в случае, когда матри-

ца ^ имеет нулевые собственные числа, которым соответствует одна группа решений линейного приближения. Для этой системы качественная картина расположения траекторий в малой окрестности начала координат с точностью до различения центра и фокуса дана в работах Н.Б.Хаимова [я] и А.Ф.Андреева , а исследования А.М. Ляпунова проблемы центра и фокуса дополнены А.П.Садовским з8-4о.
Коэффициентные условия центра для системы
и=л ал- (0.4)
где А* , -вещественные постоянные, при получены
А.Ф.Андреевым в, при , Аг - о - М.П.Григорьевым
а при , кфО -А.П.Садовеким Ы. Изучение качественной
картины расположения траекторий системы (0.4) при п=2. в конечной части плоскости при наличии центра в начале координат было проведено А.Ф.Андреевым И и Н.А.Лукашевичем D*]. а полное качественное исследование во всех случаях центра системы (0.4) при Ws'cl провели Ш. Р.Шарипов [58] и И.В.Хайрутдинов [52].
"Центр" в трехмерном пространстве разные авторы определяют по разному. Так, можно назвать особую точку центром а) если все траектории, отличные от состояний покоя, в некоторой окрестности этой точки замкнуты; б) если в окрестности этой точки имеется бесконечное множество замкнутых траекторий, расположенных на той или иной поверхности, в то время как остальные траектории в окрестности особой точки - спирали; в) если проекции всех траекторий на одну из координатных плоскостей замкнуты. Мы будем пользоваться первым определением.
Предположим, что порядок системы (0.1) равен трём, а.её характеристическое уравнение для начала координат имеет нулевой и

Система (2.2) обладает указанным выше свойством. В дальнейшем будем предполагать, что система уравнений (2.1) либо обладает указанным свойством, либо
^(суо^ = о > Зс (рЛ*}^О.
Но последний случай можно отнести к тому случаю, когда т.с(1=1,2.) можно сделать сколь угодно большими.
Предположим сначала, что
(оуОу2у) = 0 . (2.3)
С помощью замены переменных
= > ^ -'г > ^ = 3: (2.4)
придем к системе
^ гг Ы • ОЛч^ -V ••= >2. 0. ,
(2 6)
где ^ -функции переменных , "г. , '3: ,
разлагающиеся в ряды по степеням 'г. и и с периодическими
периода сГк. коэффициентами, сходящиеся при достаточно малых 'в , 3; , и . Отсюда, исключая сЙ. , получим
о г ч
ал»" х+'ЭСхйц*-') 1 ' ’
«2. * сл К=г 1=о
* Г«-. *-
Ла»_ Х+©Сч>
ОО "<• га СЛ
й^ол-.о.
¥.=•2. 1гс ’
Будем искать решение системы (2.6), удовлетворяющее условию
> 1с(охс^О-Сг1
в виде рядов
(2.6)