Понижение порядка и решение в квадратурах дифференциальных уравнений со старшими частными производными

• Автор: Тихонова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Понижение порядка путём факторизации с применением к решению граничных задач
§1. Уравнения с некратным дифференцированием по каждой из
независимых переменных (уравнения Бианки)
1.1. Понижение порядка на единицу
1.2. Понижение порядка на к единиц {к>1)
§2. Уравнения с кратным дифференцированием
2.1. Понижение порядка на единицу
2.2. Понижение на величину порядка дифференцирования
по одной из переменных
2.3. Об уравнениях с дифференцированием по одной переменной
§3. Решение граничных задач на плоскости для уравнения четвёртого порядка с двукратным дифференцированием
3.1. Условия полной факторизации рассматриваемого уравнения, достаточные для его разрешимости в квадратурах
3.2. Вывод формул решения задачи Гурса
3.3. Решение задачи Коши
Глава II. Условия построения в явном виде функции Римана для уравнения Бианки в пространствах размерности п ^ 4 .
§4. Четырёхмерное пространство
§5. Пространство любого конечного числа измерений
Глава III. Развитие метода каскадного интегрирования

§6. Общая схема построения основного каскада и определение сопутствующего
6.1. Левосторонний способ
6.2. Правосторонний вариант
§7. Рекуррентные соотношения и условия понижения порядка уравнений основного каскада. Цепочки уравнений, разрешаемых в квадратурах
7.1. Л-последовательности
7.2. П-последовательности
7.3. Построение бесконечной цепочки уравнений,
решаемых в квадратурах
§8. Изучение сопутствующего каскада. Разрешимость исходного уравнения в квадратурах на основе структурных формул для его коэффициентов
8.1. Отправная точка
8.2. Варианты достаточных условий разрешимости уравнения (3.4)
Литература

Введение
Предметом исследования в настоящей диссертации является класс уравнений вида -
где х — точка некоторой области О евклидова пространства М" с координатами (жх,... ,х„), (тх,..., тп) — мультииндекс, длина которого больше единицы, и(х) — искомая функция, М — линейный дифференциальный оператор с достаточно гладкими переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из первого слагаемого в левой части (1) отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования.
Первыми исследователями уравнения (1) считаются Л. Бианки [59] и
О. Никколетти [65], предложившие ещё в 1895 г. распространение на случай любого п при тпк = 1, к = 1,п метода решения задачи Коши, разработанного Б. Риманом [67] для уравнения
Таким образом, первоначальный интерес к (1) возник из теоретического обобщения. После Бианки и Никколетти различные вопросы, связанные с уравнением (1), изучались многими авторами как за рубежом (Г. Бейтмен, Е. Лаэ, Г. Горнич, Д. Манжерон, М. Огюсторели, Д. Колтон, С. Еасваран, В. Радо-чова, А. Кордунеану, У. Ранделл, М. Стечер и др.), так и в нашей стране (И. Н. Векуа [4], М. К. Фаге [51-53], А. П. Солдатов, М. X. Шхануков [43, 56], Б. А. Бондаренко, Г. У. Саидкаримова [1, 2], В. И. Жегалов, В. А. Севастьянов, А. Н. Миронов, Е. А. Уткина [10, 18, 21, 22, 42, 48], В. Ф. Волкодавов с учениками [5], О. М. Джохадзе [7, 8] и др.). Большинство из перечисленных авторов развивали результаты Л. Бианки и О. Никколетти, связанные с

иху + аих + Ъиу + си = /.

Доказательство. Используя формулу Лейбница, преобразуем (1.24):
дт> д.гр
( 777.1 т3+1 тп
1 Щт.1...0...т„) + Е ■ ■Е Е- •Е а(7...т,-г„) и(., 0 _п) Л
V 71—0 7-1=о Ъ+1=° 3*' I! | о /

+•]£••• Е ■■■'Еа(^п)иаг...гп)-
71 =0 %=о <„=
771! т5*_1 Шу+1 т,
Е-Е Е Е
г1==0 у-1=
Г *"Л 7/
«,=о ^
Введём функцию
^ = г^{т...0...тп) 4“
7711 Tnj-l Щ+1 ТПп
Е-Е Е-Е
ц=о 7-1=0 7+1=0 г„=о
а(м...тл...7,) 0 .п)1 (!.30)
тогда (1.24) запишется следующим образом:
<9Г7Ъ‘

а®,.-

т1 !гц-1 то_,+1 тп
Е-Е Е-Е
г'х =0 =0 =0 гп=

'-'т.!
дт1~Ъ

Из (1.30) находим дгз
I а(Й-«п)_
7=0

Ц(7-0 + У. °(т1'"Ь'"тп) г4(т1...7...тп) = /• (1-31)

/ ТП 771^ — 1 т1+1 тпп
Г~ Е- •Е Е- Е а(<1-^-°«б1...0..,п)
V »1=0 7_1=0 Ъ+1—о гп=0 )
7711 т1-1 "7+1 т„
Е-Е Е-Е
7=0 7_1=о 7+1=0 7=о
ЙГ:-1=
Подставив это выражение в (1.31), получим равенство