Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений

• Автор: Попов, Николай Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 118 с.

Содержание
О ВВЕДЕНИЕ
1. ОДНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§1.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для
ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
1.1.1 Постановка задачи
1.1.2 Основная теорема
1.1.3 Разрешимость вспомогательной краевой задачи 2
1.1.4 Доказательство основной теоремы
§1.2 Краевые задачи с граничными условиями A.A. Самарского для
псевдогиперболического уравнения
1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Разрешимость краевой задачи
1.2.3 Разрешимость краевых задач 5 и
§1.3 Краевые задачи с граничными условиями A.A. Самарского и
интегральными граничными условиями ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
1.3.1 Постановка задач
1.3.2 Разрешимость краевой задачи
1.3.3 Разрешимость краевой задачи
1.3.4 Разрешимость краевой задачи
2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§2.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для
ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Разрешимость краевой задачи
2.1.3 Разрешимость краевой задачи
§2.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для
псевдогиперболического уравнения
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Разрешимость краевой задачи
2.2.3 Разрешимость краевой задачи

МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§3.1 Краевые задачи для псевдопараболического уравнения
3.1.1 Постановка краевой задачи
3.1.2 Разрешимость краевой задачи
§3.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для
псевдогиперболического уравнения
3.2.1 Постановка краевой задачи
3.2.2 Разрешимость краевой задачи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

О ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для псевдопара-болических и псевдогиперболических уравнений.
В качестве первых работ в исследовании нелокальных краевых задач отметим классические работы В.А. Стеклова (1896), Ф.И. Франкля (1956), а также статью В.И. Жегалова (см. [12]).
Начало систематических исследований нелокальных краевых задач — задач нахождения периодических решений для эллиптических уравнений было положено в статье A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7, 51]. В связи с этим граничные условия, представляющие комбинацию пространственно нелокальных граничных условий принято называть граничными условиями A.A. Самарского.
Определенный интерес к изучению нелокальных задач для псевдопарабо-лических уравнений был вызван в связи с их прикладными значениями. К таким задачам относятся сильно пористые среды со сложной топологией по-рового пространства, и в первую очередь почва и почвогрунт (см. [5, 42, 61]). Отметим, что псевдогиперболические уравнения возникают в теории нестационарного течения вязкого газа, при конвективной диффузии солей в пористой среде, распространении начальных уплотнений в вязком газе.
Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции на концах интервала и в его внутренних точках, рассматривались в работах R.C. Brown, A.M. Krall [63], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева [16, 17], Г.М. Кесельмана [21], A.A. Шпаликова [59].
Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon [71], Л.И. Камынина [20] опубликованные в 1963 и 1964 годах. Среди последующих работ отметим работы Н.И. Ионкина [19], JT.A. Муравья и A.B. Филиновского [38, 39], С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука [3], А. Bouziani и N-E. Benouar [64, 65], A. Bouziani [66, 68], Н.И. Иванчова [15], J.R. Cannon и Van der Hoek [69, 70], З.А. Нахушевой [44, 45], Ю.Т. Сильченко [53, 54, 77], N. Lazetic [75], А.И. Кожанова [26], JI.C. Пулькиной [49, 50], Г.А. Лукиной [34, 35, 36], в которых изучались задачи с интегральными условиями для уравнений параболического и гиперболического типов, для обыкновенных дифференциальных уравнений, для некоторых неклассических дифференциальных уравнений. В работе А.И. Кожанова [26] методами регуляризации и продолжения по параметру исследована разрешимость пространствен-

Отметим, что неотрицательность квадратичной формы (1.1.14) выполняется, например, при ад(t) > 0 или ßßt) < 0 и aßt)ßßt) — (аД£) —/З3(t))2 > 0.
Используя условия (1.1.13)—(1.1.15), применяя неравенство Юнга и неравенство (1.1.26), используя лемму Гронуолла, из (1.1.31) окончательно получим априорную оценку

J f-UT + 2ulr + Ulxr dx dT + J [Ulx(X, 0 + Ul(x> t) + “2(Ж> t)] dx+
0 nt n T (1.1.32)
+ J q(uT(0, r), uT{, r), t) dr < К J J f2dxdr,
0 0 n
постоянная К в которой определяется числом Т, данными функциями а(х, t), c(x,t), aßt), ßj{t).
Покажем, что из оценки (1.1.32) следует замкнутость множества А.
Пусть {Ап} есть последовательность точек множества А, сходящаяся к числу До, {геДз;, £)} — последовательность решений из пространства Vo краевой задачи (1.1.23)—(1.1.25) с А = Хп,

ип(х, t) = wn(x, t) + J F(x, T, n, wn{r)) dr.

Положим Vnk(x,t) = Un{x,t) — U/ßx,t). Для функций Vnk(x,t) выполняются равенства
Unkt 4“ (-'Vnk Vnkxxt 0,
Vnkxti,О, i) = X^avnkß),t) -f- (An Xß)aun,
Xnkx{^jt) — Xkßvnk(,t) + (A„ Xß)ßun,
где йп = (unx(0,t),unx(l,t),unß0,t),unßl,t),un(0,t),un(l,t)).
Повторяя для функций vnk{x, t) доказательство оценки (1.1.32) и при этом учитывая то, что для самих функций un(x,t) оценка (1.1.32) выполняется, нетрудно доказать справедливость неравенства
H^Tlfcllvb — Ci|Ati A/;|,
постоянная С в котором определяется функциями a{x,t), c[x,t), aßt), ßj(t) и f{x,t), а также числом Т. Из этого неравенства следует, что последовательность {un(x,t)} фундаментальна в пространстве Vq. Фундаментальность в свою очередь означает, что существует функция щ(хЛ), обладающая свойствами ußx,t) Е W^iQ) П Аоо(0, Т; И/КП)), uoxxßx,t) Е L2{Q) и