исследование многочастотных колебаний систем с запаздыванием

• Автор: Кравец, Василий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 113 c. : ил

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ МНОГОЧАСТОТНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ МЕТОДОМ УСРЕДНЕНИЯ

§1. Обозначения и вспомогательные утверждения

§2. Постановка задачи для двух классов многочастотных систем с запаздыванием

§3. Доказательство вспомогательных лемм

§4. Обоснование метода усреднения для

системы (1.2.1)

§5. Обоснование метода усреднения для

системы (1.2.9)

Глава II. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОЧАСТОТНЫХ

СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

§1. Некоторые обозначения и постановка задачи

§2. Построение асимптотических приближения
системы (2.1.1 )
§3. Построение асимптотических приближений
системы (2.1.2 )
§4. Условия существования квазипериодических
решений системы ( 2.1.1 )
§5. Условия существования квазипериодических
решений системы ( 2.1.2 )
Глава III. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
§1. О квазипериодических колебаниях систем с
степенями свободы
§2. Колебания маятника с вибрирующей точкой
подвеса
ЛИТЕРАТУРА

Среди процессов, изучаемых в самых различных разделах естествознания (механике, физике, технике и др.) важное место занимают колебательные процессы. До настоящего времени разработан и математически обоснован ряд эффективных методов исследования колебательных процессов, описываемых как линейными, так и нелинейными дифференциальными уравнениями. Наиболее плодотворными из них оказались асимптотический метод, метод усреднения, метод интегральных многообразий и метод последовательных замен переменных, развитые Н.М.Крыловым, Н.Н.Боголюбовым, Ю.А.Митропольским и их учениками [14-17] , [34] ,[48-58] , [71-74]
Остановимся более детально на втором из этих методов, Основы метода усреднения были заложены в работах основоположников небесной механики времен Лагранжа И Лапласа. Сущность метода усреднения состоит в том, что изучаемая система дифференциальных уравнений при помощи специального оператора заменяется другой системой, называемой усредненной. При этом усредненная система с одной стороны, должна быть в некоторой степени проще исходной, а с другой стороны, она должна описывать главные черты исследуемого явления. В таком случае естественным образом возникает проблема обоснования метода усреднения, т.е. проблема получения эффективных оценок для нормы разности решений исходной и усредненной систем уравнений на достаточно большом промежутке времени.
Несмотря на то, что метод усреднения применяется для решения различных задач на протяжении почти двух столетий, проблема обоснования метода усреднения долгое время оставалась неразрешенной. Лишь в 30- 40 годы текущего столетия были получены основополагающие результаты в этом направлении. Так Н.Н.Боголюбов пока-

зал [14] , что для систем стандартного вида метод усреднений органически связан с существованием некоторой замены переменных, позволяющих исключать временную переменную £ из правой части системы. Кроме того, Н.Н.Боголюбов исследовал системы уравнений высших приближений, решения которых апроксимируют решения исходной системы уравнений с точностью до величин пропорциональных целым степеням малого параметра <£
Весьма широкий класс нелинейных колебательных систем описывается уравнениями, которые можно свести к системе дифференциальных уравнений относительно т медленных и л быстрых переменных. Правые части таких уравнений, как правило, -периодические по каждой из компонент вектора быстрых переменных или квазиперио-дические по времени. Для исследования и построения решений уравнений с медленными и быстрыми переменными наиболее широко применяются асимптотические методы нелинейной механики. Для случая асимптотический метод был развит Н.Н.Боголюбовым и Д.Н.Зубаревым [15] . Если , то при применении асимптотических методов возникают существенные трудности, связанные с проблемой резонансов. Для исследования резонансных задач в последнее время также разработаны различные варианты асимптотических методов и метода усреднения. Наиболее изучены квазилинейные колебательные системы. Резонансные явления в таких системах возникают как в результате целочисленной соизмеримости собственных частот, так и вследствие воздействия на систему возмущающих сил.
Существенные результаты в области исследования резонансных задач были получены в работах Н.П.Моисеева [б1,63] , Е.А.Гребе-никова [27] , Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова [28-30] , Е.А.Гребе-никова и Н.И.Поповой [31] , М.М.Хапаева [79-82] , Ф.Л.Черноусь-ко [87-88] , Л.Д.Акуленко и Ф.Л.Черноусько [I] , Н.И.Поповой

Е є, юг? Е <о4 А//;
раз.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.2. Перепишем систему уравнений (І.2.9) в виде
сСзз
АС '^Ех, осй,
- а Ех, зс, У'Ам о Ех, хЛ/ у>Еу
А у АС " <СЕ(Х, ХГ^-Ґ ЄАЕа Хд, )
(1.5.2)
рде а Есе, ос., ае-е с?ах,^є/ґ?^
КЦ*://ИН '
а Ех, хА/ Введем замену переменных
Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздывания, будем искать /•? - мерную функцию X в ВИде тригонометрического многочлена
(1.5.3)
с/ - Е- <х*Ех,хЕ
коэфициенты которого удовлетворяют тождеству
^ АСх,хЕ+ а Ех, X, УЕ^СР . (1.5.
Если выражение/^ С О то из (1.5.4) находим неизв
ные коэфициенты.