Непрерывные и итеративные методы решения нелинейных некорректных задач монотонного типа

• Автор: Бубнова, Оксана Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 111 с.

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
1.1 .Основные понятия и обозначения
1.2 . Дуальное отображение и операторы монотонного типа
2. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
2.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для монотонных уравнений
2.2. Метод итеративной регуляризации второго порядка для монотонных уравнений
3. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С АККРЕТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
3.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для аккретивных уравнений
3.2. Итеративный метод регуляризации второго порядка для аккретивных уравнений
4. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С б-АККРЕТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
4.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для д-аккретивных уравнений
4.2. Метод итеративной регуляризации второго порядка для й-аккретивных уравнений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Многие прикладные задачи приводятся к операторному уравнению
Ах = /, х £ X, /6 К, (1)
где оператор А действует из метрического пространства X в метрическое пространство У. Нас будут интересовать задачи вида (1), относящиеся к классу некорректных. Понятие корректности связано с исследованиями французского математика Адамара различных краевых задач для уравнений математической физики. Ему же принадлежит следующее определение.
Определение 0.0.1 . Задачу (1) называют корректной, если выполняются следующие условия:
1) задача (1) имеет решение х при любом / £ У;
2) решение х единственно;
3) х непрерывно зависит от / в метриках пространств X и У.
Если хотя бы одно из этих требований не выполняется, то задачу (1) относят к классу некорректных.
Ранее существовало мнение, что некорректные задачи не имеют физического смысла. Впоследствии выяснилось, что это мнение было ошибочным, и что многие задачи математической физики, являющиеся некорректными и, в частности, задачи, отмеченные Адамаром, имеют реальное физическое содержание. Оказалось также, что некорректные задачи возникают и во многих других разделах математики, связанных с приложениями. Некорректной является такая классическая задача математического анализа, как задача дифференцирования, если она связана с обработкой экспериментальных данных. Кроме того, также некоторые задачи оптимального управления, задачи выпуклого программирования н многочисленные задачи математической физики, сводящиеся к уравнениям в частных производных, тоже относятся к некорректным. При численном решении любой задачи важнейшим является вопрос о непрерывной зависимости решения от данных задачи (оператора А и элемента /), так как на. практике точные А и /, как правило, неизвестны. При отсутствии этого свойства непосредственное численное решение задачи невозможно. Но установление непрерывности обратного к А оператора весьма непростая задача. Этот факт также способствовал созданию теории и методов решения некорректных задач.
В отечественной математической науке сложились три школы в теории некорректных задач, основоположниками которых являются А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов. А.Н. Тихонову принадлежит следующее важное понятие регуляризирующего алгоритма (РА) задачи [63].
Определение 0,0.2 . Оператор R(a,f) : Y —> X называется регуляризирую-щим алгоритмом задачи (1), если он обладает следующими свойствами:
a) R(a,f) определен при Va >0 и V/ £ Y;
b) существует функция а = a(S) такая, что регуляризованное решение х6а = R(a(6),fs) —> х при а(6) —> 0, где х - некоторое решение (1), py[f,fS) < &, Py -метрика в пространстве Y.
Параметр а называется параметром регуляризации.
Наиболее тонкие результаты в области решения некорректных задач получены для линейных операторных уравнений. Фундаментальные результаты указанного направления исследований получены в монографиях М.М. Лаврентьева [43, 44], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.П. Шишатского [45], А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина [63], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы [37], В.А. Морозова [49], А.Б. Бакушинского, A.B. Гончарского [10] и т.д. В качестве наиболее значимых методов решения линейных некорректных задач укажем: операторный метод регуляризации М.М. Лаврентьева [43], метод сглаживающего функционала А.Н. Тихонова [63], метод невязки и метод квазирешений В.К. Иванова [36, 37]. Полные и законченные результаты в этой области достигнуты в основном благодаря использованию в качестве аппарата исследований основополагающего раздела анализа - спектральной теории линейных операторов. Достаточно полных результатов, близких к тем, что известны в линейном случае, для всего класса нелинейных некорректных задач получить не удается. В связи с этим появилась необходимость выделения для исследования отдельных классов нелинейных задач. Важным классом нелинейных операторных уравнений являются уравнения с операторами монотонного типа. К операторам монотонного типа мы относим монотонные операторы, впервые определенные Р.И. Качуровским [40], аккретив-ные [78] и d-аккретивные [69] операторы. К таким уравнениям сводятся многие задачи математической физики, оптимального управления, задачи минимизации выпуклых функционалов, задачи о седловых точках и т.д. Подтверждением этого факта может служить утверждение: градиент выпуклого функционала является монотонным оператором [40]. Интенсивное изучение задач с отображениями монотонного типа привело к созданию целостной теории монотонных операторов, которая содержит подробное описание свойств этого класса отображений, теоремы существования решений уравнений. Существенный вклад в ее развитие внесли Ф. Браудер [73]-[76], X. Брезис [71, 72], М.М. Вайнберг [20], Р.И. Качу-ровский [40, 41], Ж.-Л. Лионе [47], С. Райх [82], Р. Рокафеллар [8-3]-[86] и другие математики (укажем некоторые монографии [33, 79, 81]). Их фундаментальные исследования создали базу для построения устойчивых методов решения нелинейных некорректных задач, описываемых с помощью отображений монотонного типа.
Если оператор А в уравнении (1) произвольный монотонного типа, то задача нахождения решения (1) в общем случае не является корректной. Кроме того,

2 МЕТОДЫ ДЛЯ МОНОТОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Оценим сверху правую часть последнего неравенства. Пусть выполняется неравенство
\ик - < Ai||Jufc - Jufc-iH, Ai = const > 0, (2.2.12)
для uk = Xk и ик = y, k > 2, m > 2.
Так как J'Juk = ик, где J* - дуальное отображение в X*, то (2.2.12) означает, что на последовательностях {а1*} и {у} оператор J* удовлетворяет условию Липшица. Воспользовавшись неравенством аЪ < а2/2 + 62/2, а > 0, b > 0 и свойством (2.2.12), получим
т ш
[ ' Ь2- г-- --.уГ-2 - 2/Г)< ІІ«3-^Г-іІі(іІі/Г-а-і/Г-іІІ +
+ ііуГ-і - 2/П|)/п-1 < + С-і^-і),
где С! > 0, = ІІ*^2/Г - ^У/Г-іІІ2Аьі їк = т1) ^ = п/тк-1.
Так как последовательность {т*,} не возрастает, то последнее неравенство дает:
^Ук—2 ~ ФУк-1 тп ~,т г І -'іт
>2/4-2 ~Ук ) < СДФк Тк + Фк-іП-і).
п-1 '
Таким образом, неравенство (2.2.11) может быть переписано в виде
хга -пг Птп
Рк Рк-(Л , Рк-1 Рк-2 , _ ~ „тп
---(І + ртк) I-ткатрк <
Тк тк
< сйФкЛ + ФТ-іТк-і)і к > 2, т > 2.
Применив к последнему неравенству лемму 1.1.20, имеем
Р7 < с2ехр(тк?Тк) + сз І2(Ф?В + ФТ-іН-і)ехр(ХткТ(Тк - Тй), (2.2.13)

где к и к - корни квадратного уравнения
/с2 + рк + сет = 0,
/сГ = [ р - ^Д<2 - 4dm]/2 = -ju + — + o(am), (2.2.14)

fc2"1 = [-Д + j p2 — 4am]/2 = + o(am), (2.2.15)