Нестандартные краевые задачи и прямые разложения функциональных пространств

• Автор: Боровиков, Илья Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с. : ил.

1 Вещественные и комплексные краевые задачи и прямые разложения функциональных пространств
1.1 Необходимые функциональные пространства
1.2 Градиентно-дивергентный оператор.
Теорема Г. Вейля и ее частичное обобщение
1.3 Критерий дополняемости подпространства нормированного пространства
1.4 Прямые разложения функциональных пространств
1.4.1 Пространства Соболева "отрицательной гладкости "и дифференциальные операторы
1.4.2 Обобщение разложения Г. Вейля
1.4.3 Другие разложения функциональных пространств
1.5 Краевые задачи
1.5.1 Градиентно-дивергентный оператор
1.5.2 Вариационные задачи

2 Некоторые краевые задачи клиффордова анализа и прямые разложения модулей Клиффорда
2.1 Модули над алгебрами Клиффорда
2.1.1 Определения и некоторые утверждения
2.1.2 Пронизывающие изоморфизмы
2.2 Модули Соболева-Клиффорда
2.2.1 Определения и некоторые свойства
2.2.2 Операторы дифференцирования
2.2.3 Прямые разложения. "Одномерный" случай
2.2.4 Прямые разложения. "Многомерный" случай
2.3 Краевые задачи для систем типа Стокса в модулях Соболева-Клиффорда
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 88 ■
Список литературы
Известно, что всякое гладкое векторное поле может быть представлено в виде суммы соленоидального поля (поля без источников) и некоторого потенциального поля. Это утверждение часто называют теоремой Гельмгольца, в частности, в учебнике по математическому анализу [1]. Приведем формулировку этой теоремы из данного учебника.
Теорема. Любое гладкое в области И евклидова ориентированного пространства К3 поле Р можно разложить в сумму ¥ = ¥ + Р'г безвихревого поля Рх и соленоидального поля РгДоказательство этого факта сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области И. В самом деле, если применить оператор Фу к полю Р и решить задачу Дирихле
то для поля F можно будет написать представление
F = grad р + (F — gradp),
в котором, как очевидно, поля Fx = gradp и F2 = (F—gradp) являются, соответственно, безвихревым и соленоидальным. Граничное условие (2) в задаче Дирихле мы специально не конретизировали, поскольку при любом условии
Ар = divF.
pdD = • ■ •,
(1)
(2)

Действительно, оператор А непрерывен, коэрцитивен и строго монотонен (см. [21]). Как следствие, оператор А является гомеоморфизмом. Поэтому все “дефекты” задачи сосредоточены в операторах Фу и (Фу)*. Из коммутативной диаграммы
И;2(С) П и2 (С) - - ^ ЬР(С)
0£Л(С),
где Д — оператор Лапласа, следует, что оператор
Фу: и0/(С) - ЬР(СГ)
сюръективен, а поскольку ядром оператора Фу является подпространство соленоидальных полей вДС?), то
Фу: Т»0/{С)/8р(О) -> 1р(С)
— изоморфизм. В итоге мы приходим к “факторизованной” последовательности
ОР(0)/3Р(0) ^иьг{в) ЩГ (^ДОувДС))',
которая уже будет определять гомеоморфизм, как последовательность гомеоморфизмов. Теорема доказана. □
Воспользовавшись теоремой 1.4, можно переформулировать только что доказанную теорему следующим образом: для каждого функционала б, из (Вр!1(С))/, который аннулируется на подпространстве Эр (С), существует решение задачи (1.13), (1.14), единственное по модулю того же подпространства 8,(0).
Замечание 1.6. Ввиду полученных ранее прямых разложений, являющихся обобщением разложений Вейля, можно утверждать, что при тех