Задача Коши и граничные задачи для некоторых сингулярных параболических систем

• Автор: Веренич, Ираида Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Черновцы
• Количество страниц: 148 c. : ил

- <с

Глава I. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ И ЗАДАЧА КОШ ДЛЯ ОБЩИХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ПО И.Г.ПЕТРОВСКОМУ СИСТЕМ СО СТЕПЕННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ
§ і. Леммы о свойствах специальных объемных
потенциалов
§ 2. Построение фундаментальной матрицы решений
задачи Коши
§ 3. Разрешимость задачи Коши
Глава II. ЗАДАЧА КОШ И СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ В-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ I. Некоторые вспомогательные утверждения и леммы
§ 2. Внутренние оценки шаудеровского типа решений
В -параболических систем
§ 3. Фундаментальные решения задачи Коши для
В-параболических систем с особенностями в коэффициентах
§ 4. Разрешимость задачи Коши для В -параболических
систем с особенностями в коэффициентах
§ 5. Теоремы Лиувилля для решений В-параболических систем
§ 6. Фундаментальные решения задачи Коши для
В-параболических систем с дисспацией
Глава III. МАТРИЦА ГРИНА ОДНОРОДНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ. СЛУЧАЙ НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ И СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ
§ I. Вспомогательные утверждения о функции Грина и леммы об оценках некоторых объемных потенциалов в нецилиндрических областях
§ 2. Теорема о существовании и свойствах матрицы
Г р и н а
ЛИТЕРАТУРА
Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам теории линейных параболических систем с коэффициентами, имеющими особенности. В ней: I) построена фундаментальная матрица решений задачи Коши для произвольных параболических в смысле И.Г.Петровского систем в случаях, когда коэффициенты имеют степенные особенности на прямых ЗСя Х0 и гиперплоскости 1: =1:о (глава I) и систем с оператором Бесселя по П-ой пространственной координате (Глава II);2)построена матрица Грина и изучены ее свойства для параболической краевой задачи в нецилиндрической области со степенными особенностями в коэффициентах системы (Глава III).
Для уравнений с частными производными с помощью классических методов решены многие важные задачи. Исследованию задачи Коши и граничных задач для линейных параболических систем посвящены работы И.Г.Петровского [66'], С.Д.Эйдельмана [80], В.П.Михайлова [61], Т.Я.Загорского [19], 0.А.Ладыженской, В.А.Солонни-кова, Н.Н. Уральце вой [47], Е. М. Ландиса [48], А. Фридмана 78], М.И.Матийчука [51], С.Д.Ивасишина [21-241 и других авторов.
Важные результаты для вырождающихся уравнений с частными производными и оператором Бесселя получены Я.И.Житомирским [18], И.А.Киприяновым [ЗЗ-Зб] , В.И.Кононенко [30-32], М.И.Ключанцевым [37], В.3.Катраховым [27],[28], Л.И.Камыниным [26], М.И .Матийчуком [54-60] , М.М.Смирновым [?], [72], А. В. И Бановым [20]
В работах В.В.Крехивского, М.И.Матийчука [41], [42] изучаются фундаментальное решение и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя, рассматриваются краевая и смешанная задачи для данных систем. О.Н.Козлова [38-39] изучила свойства положительных решений параболических уравнений с опера-

тором Бесселя.
В настоящее время исследуются такие задачи для важных, с теоретической и прикладной точек зрения, классов уравнений с особенностями в коэффициентах. В работах Л.Г.Михайлова [62], [бЗ] изучается обобщенная система Коши-Римана, коэффициенты которой имеют особенности. Л.С.Парасюк [77] исследовала свойства обобщенного фундаментального решения эллиптической системы с разрывными коэффициентами. Задачу Коши и основные задачи математической физики для параболических систем с разрывными коэффициентами рассмотрел М.И.Матийчук [53], а в работах [54 - 58] им же строится и изучается фундаментальное решение названных систем и исследуются краевые задачи параболического типа с разрывными коэффициентами на гиперплоскости. Принцип максимума для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами получен И.Д.Пукальским, М.И.Матийчуком [67].
Краевые задачи для некоторых сингулярных дифференциальных операторов изучались В.В.Катраховым [27],[28], а фундаментальное решение дифференциального оператора с особенностью рассмотрели В.С.Серов [70], Л.С.Парасюк [65].В работе С.Д.Эйдельмана,С.Д.Ива-сишена [81] исследована матрица Грина однородной параболической граничной задачи для систем с разрывными коэффициентами.
В работе [88] Л. Ъспг-е , !В. $ъа,пск , £.О&ьес-РоЬ изучаются граничные задачи для линейных параболических дифференциальных операторов в весовых пространствах Соболева. Коэффициенты оператора имеют особенности в нижней части цилиндра.
Общие эллиптические задачи с сильным вырождением изучались Я.А.Ройтбергом и З.Т.Шефтелем [68].
Как свидетельствует проведенный анализ, получены глубокие результаты по исследованию фундаментального решения и классиче-
^ч=о ±о
*{ <*-^ т^е:рю £ сца.
■5& «-
Отметим, что интеграл по переменной 1=' изучен в £80, с.1831.
Рассмотрим интеграл по переменной 1=^ . В связи с тем, что подынтегральное выражение положительно, то от интегрирования по отрезку перейдем к интегрированию по полуоси (О, сю)
л , п. о п-

Напомним, что ограниченность последнего интеграла показана при доказательстве леммы 3.
Из вышеизложенного следует:
_|чч-а£
Учитывая, что (к^ является решением уравнения 1о5"=0 ,
получим аналогично оценку
Прежде чем изучить производные функции , оценим разность:
1|р -^р^'*
+ 1^1 * (м. 2)
С-1^-
Представим теперь в виде
«с ^-и
Я1£