Исследование разностных схем для задач Трикоми и Геллерстеда

• Автор: Ивлева, Анжелика Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 94 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Г л а в а 1. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа
1.1. Численное решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бидадзе
1.1.1. Постановка задачи
1.1.2. Аппроксимация краевой задачи
1.1.3. Сходимость решения разностного уравнения к решению дифференциального
1.1.4. Итерационный процесс Зейделя в приближенном решении задачи Трикоми
1.1.5. Результаты расчета для тестовой задачи
1.2. Численное решение краевой задачи для модельного уравнения с двумя перпендикулярными линиями
изменения типа
1.2.1. Постановка задачи
1.2.2. Построение разностной схемы
1.2.3. Сходимость итерационного процесса Зейделя в приближенном решении задачи

1.2.4. Результаты численных расчетов
Г л а в а 2. Краевая задача для вырождающегося эллиптического
уравнения с нелокальными краевыми условиями
2.1. Постановка задачи
2.2. Аппроксимация дифференциального оператора разностным
2.3. Аппроксимация граничных условий
2.4. Приближенное решение краевой задачи
2.5. Результаты расчета для тестовой задачи
Г л а в а 3. Краевые задачи для уравнения Дарбу — Трикоми
3.1. Приближенное решение задачи Трикомй для уравнения Дарбу — Трикоми
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Основные соотношения между т ж и
3.1.3. Аппроксимация краевой задачи
3.2. Приближенное решение задачи Геллерстедта
3.2.1. Постановка задачи
3.2.2. Построение разностной схемы
3.2.3. Сходимость итерационного процёсса'Зейделя в приближенном решении задачи Геллерстедта
3.2.4. Результаты численных расчетов
Литература

Введение
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа в настоящее время является одним из интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как внутренними потребностями теоретического обобщения классических краевых задач для уравнений математической физики, так и
прикладным значением. Основы этой теории были заложены в трудах

Ф.Трикоми [59] и С. Геллерстедта [3]. Они изучали краевые задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, известные в литературе как задачи Трикоми и Геллерстедта. Новым этапом в развитии исследований краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы М. А. Лаврентьева, Ф. И. Франкля [61]-[63], И. Н. Векуа [15], А. В. Бицадзе [12]-[13], К. И. Бабенко [9] и других математиков. В монографии А. В. Бицадзе [12] отмечено, что уравнения смешанного типа стали объектами систематических исследований с конца 40-х годов нашего столетия
В последние годы теория краевых задач для уравнений смешанного типа развивалась в работах Б. А. Бубнова, Л. Д. Кудрявцева, А. И. Ко-жанова, Н. А. Ларькина, М. М. Смирнова, Т. Д. Джураева, М. С. Са-лахитдинова, С. А. Терсенова, В. П. Михайлова, Е. И. Моисеева, А. М. Нахушева, В. Ф. Волкодавова, В. Н. Врагова, И. Е. Егорова, А. Н. Зарубина, В. И. Жегалова, А. Г. Подгаева, Хе Кан Чера, К. Б. Сабитова,
О. А. Репина и др. Обширную библиографию работ в этом направлении можно найти в [2, 11, 12, 53, 54, 56].
Уравнения смешанного типа находят примевйющ во многих задачах математической физики, в частности, в задачах газовой динамики,

В таблице 1 приведены максимальные значения погрешностей приближенных решений: тах|и(г,,»/,) — Т} в тахи(х,,у — и в получаемых по методу Зейделя при разном числе разбиений N по оси ОХ и ОУ . При этом за нулевое приближение принимаем значения, равные нулю во всех внутренних узлах и узлах (т;/0) (г = 1,2
щах|”+1) - и? < 0.0001.
Таблица
N Погр. в -О/“ Погр. в Пк
10 0.03068 0.05027
15 0.02285 0.03255
20 0.01713 0.02848 '
25 0.01261 0.01646
30 0.00911 0.01173
35 0.00880 0.00815
На рис. 3 изображены точное решение задачи Трикоми и линии уровня абсолютной погрешности приближенного решения для Ь=1/20 и 11=1/40.