Краевые задачи для параболических уравнений произвольного порядка в весовых пространствах Гёльдера

• Автор: Черепова, Марина Фёдоровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 195 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Обозначения и основные определения
Введение
Глава I. Гладкость параболических потенциалов
1. Фундаментальное решение ’’модельного” параболического уравнения
2. Гладкость потенциала объемных масс с плотностью, распределенной в полупространстве
3. Потенциал объемных масс с плотностью, распределенной
в области
3.1. Вспомогательные оценки
3.2. Гладкость потенциала объемных масс с плотностью, распределенной в области
4. Оценки старших производных потенциала объемных масс. Дополнительная гладкость объемного потенциала
4.1. Функции Ли г
4.2. Интеграл У (Р)
4.3. Оценки производных потенциала объемных масс
в полуограниченной области
4.4. Потенциал объемных масс в области общего вида
5. Обобщенный параболический потенциал простого слоя. Формулировки теорем
6. Потенциал простого слоя в элементарной области
7. Потенциал простого слоя в области общего вида
8. Гладкость потенциала Пуассона
9. Задача Коши для ’’модельного” оператора
Глава II. Система граничных интегральных уравнений
10. Вводная часть; формулировка теоремы
11. Система интегральных уравнений в модельном случае
12. Система интегральных уравнений на элементарной поверхности
12.1. Оператор К
12.2. Оператор К0
12.3. Операторы А1, А2
12.4. Оператор А3
12.5. Доказательство теоремы 10.1 в случае элементарной поверхности

13. Система интегральных уравнений на поверхности общего вида
14. Краевые задачи для ” модельного” оператора
Глава III. Априорные оценки
15. Априорные оценки решений краевых задач; формулировки теорем
16. Вспомогательная лемма
17. Интерполяционные неравенства для области
18. Интерполяционные неравенства для слоя
19. Доказательство теоремы 15.1 об априорных оценках
20. Априорные оценки решения задачи Коши
Глава IV. Краевые задачи. Задача Коши
21. Разрешимость краевых задач. Теорема единственности
22. Регулярность решений краевых задач
23. Разрешимость задачи Коши. Теорема единственности
24. Регулярность решения задачи Коши
Литература
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ж = (ж1,хп) — точка пространства Rn (п > 1); |ж| = (ж2 + ... + ж2)1/2;
Р = (ж, t) — точка пространства Дп+1; |Р| = |ж| + 11/2,гг;
ДхР=(Дж, 0), AtP=(0,At)’ Р' = (x',t) - (æi.,ат„_1, *);
m, q, а, гл, — фиксированные числа, причем т — натуральное, q = 2m/(2m — l), 0 < а < 1, vs = as/m, s = 0, m — 1;

x ' У = Ш — скалярное произведение в Д";

I = (/ь
<7* = (о- G Д");
<9г = <9/<9i, (9,- = д/дх;, д — (Ôj,
а(Р)<т = Е а,(Р)а', ег G Д", (0.1)
|(|=2т
— форма степени 2т с вещественными коэффициентами, зависящими от переменной Р;
fr№raexp{-ctf/t,/2ra}, г> о , .. „
рс(Р;/3) = < Л (Р£Д"+1ДеД,с>0).
I 0, £ < 0,
Через С, Ci, с и т.д. обозначаем положительные постоянные, не зависящие от Т и переменных Р, Q, А и т.д., конкретный вид которых для нас не важен.
Для любой функции (или вектор-функции) и переменной Р обозначаем:
Ари(Р) = и(Р +АР)— и(Р); Ахи(Р) = и(Р+ АХР) — и(Р); Дщ(Р) = = и(Р + AtP) — и(Р). Для любой функции u(P;Q) двух переменных обозначаем uW (й(ж), i; Q) = д1и(у, t; Q)
у y=h{x)
Д”+1 = {Р G Дп+1 : t > 0} — полупространство в Rn+l ;
Д” = {Р' G Дп : t > 0} — полупространство в Д";
D = {Р G Д"+1 : 0 < * < Г}, 0 < Т < +оо, — слой в Д',+1;
D1 = {Р' G Д” : 0 < t < Т}, 0 < Т < +оо, — слой в Д,г.
Очевидно, D = Д£+1 и D' = Д£ при Т = +оо.
Замечание 3.5. Из доказательства оценок (3.12)-(3.14) вытекает неравенство
\Vf-, П||л"_1’в < С(1 + Л"1)!!/; 0||а, А > 0, (3.21)
с постоянной С, не зависящей от А.
4. Оценки старших производных объемных масс. Дополнительная гладкость объемного потенциала
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.3 и пусть А > 0. Тогда для любой функции / £ Сд’“(0) пространственные производные д1У ф{Р) порядка |/| = 2т потенциала (3.1) принадлежат классу С'д’“(0) и справедлива оценка
||9'У/;П||Й<С||/;П|К. (4.1)
Кроме того, пространственные производные д1У/(Р) порядка 1 £ И < 2т — 1 удовлетворяют неравенству
А,д'У/(Р) <С||/; П||Ц(Д«)(2т'|,М/2т№1+ДР + Ч ехр(АЦ + Д()), Р, Р + ЛРеИ, ЛеП, ,Д0. (4.2)
Для доказательства теоремы 4.1 предварительно вводим вспомогательные функции в п.п. 4.1, 4.2 и исследуем их свойства. Теорему 4.1 доказываем в п.п. 4.3, 4.4, используя метод, разработанный в [55, 59] для исследования гладкости потенциала простого слоя. А именно, сначала рассматриваем потенциал (3.1) в полуограниченной области, ’’боковая” граница которой задается одним уравнением (см. (3.4), (3.7)); затем — в области общего вида.
4.1. Функции Ли г
Полагаем

Р(Р;а(Л)) = J £о(х', хп — и, £; а (А)) ей/, (4.3)

где функция 3?о определена формулой (1.5). Очевидно, что
0пД(Р;а(Л))=%(Р;а(Л)). (4.4)