Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений

• Автор: Фроленков, Игорь Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 150 с.

Глава 1. Вспомогательные предложения

1.1 Некоторые обозначения

1.2 Неравенство Гронуолла

1.3 Теорема Арцела

1.4 Принцип максимума для параболического уравнения

второго порядка

1.5 Общая формулировка метода слабой аппроксимации

1.6 Одна теорема метода слабой аппроксимации

Глава 2. О задаче идентификации коэффициентов при производной по времени и нелинейном члене в полулинейном параболическом уравнении

2.1 Постановка задачи

2.2 Переход от обратной задачи к прямой

2.3 Разрешимость прямой задачи
2.4 Существование классического решения обратной задачи
2.5 Единственность классического решения обратной задачи
Глава 3. О задаче идентификации коэффициентов при нелинейном члене и функции источника для полулинейного параболического уравнения
3.1 Постановка задачи
3.2 Переход от обратной задачи к прямой
3.3 Разрешимость прямой задачи

3.4 Существование классического решения обратной задачи
3.5 Единственность классического решения обратной задачи
3.6 Существование и единственность классического решения в случае первой и второй краевых задач
Глава 4. О задаче идентификации коэффициентов при нелинейном члене и функции источника в полулинейном параболическом уравнении с условиями переопределения, заданными на кривой
4.1 Постановка задачи
4.2 Разрешимость прямой задачи
4.3 Существование классического решения обратной задачи
4.4 Единственность классического решения обратной задачи
4.5 Существование классического решения в случае первой и второй краевых задач
Заключение
Список литературы
Список работ автора по теме диссертации

При изучении физических объектов или явлений экспериментальными методами типична ситуация, когда интересующие исследователя количественные характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюдения. Или проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что, он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений). Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами. В этом случае приобретается некоторая косвенная информация об исследуемом объекте. Эта информация определяется природой изучаемого объекта и используемым при этом изучении экспериментальным комплексом. В таких ситуациях для диагностики объектов (например, их внутренней структуры) требуются математическая обработка и интерпретация результатов наблюдений.
Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, границы области, граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагности плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации, геофизической нейтронометрии, графиметрии и др. приводят к

Дифференцируя уравнение (2.43) по z от одного до девяти раз, получим для к — 1 9 в силу принципа максимума
Д«<^)+с(1 + г2дД) + кг(«-фр, 5 vr(t) < Утф + с( 1 + v/(t - ~) + vy(< -!))(, I < ( « |.
Учитывая (2.49) и неотрицательность функций V^(t), усилим неравенство
Vr(t) < Угф + с (гф +1) t +1 -1, I < <
V(i) « (Г(0) + 1) (1 + С(V(0) + 1) - 1, «
VT(t) < (H(0) + 1)е^°>+1)* - 1 <
< (7(0) + 1 )e^y(0)+1)r - 1, (2.52)
О о
На третьем дробном шаге проинтегрируем уравнение (2.44) по временной переменной по отрезку [у, t], затем по аналогии с ранее проделанными оценками возьмем обе части равенства по модулю, заменим функции в интегральных членах на их точные верхние границы по х £ Е, z £ Е, затем заменим функцию фт|, стоящую в левой части неравенства на sup vT.
æe.Ei,
z(zEi
Заметим, что из оценок (2.41) и условия (2.7), следуют равномерные по т оценки
M(t,uT(t,x,z)) < М0( 1 + uT(t,x,z)p) < С, (■t,x,z) £ 6r[0,*î]-Аналогично
|М(1)(г,ит(г))| sC Mq(1 + uT(t, x, z)p) ^ C, (t,x,z) £