Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных гиперболических уравнений

• Автор: Кунгурцев, Алексей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Задача Гурса

§ 1. Плоский случай

1.1. Существование решения

1.2. Единственность

§ 2. Пространственная задача (п=3)

2.1. Существование решения

2.2. Единственность

§ 3. Распространение на случай любого п>

3.1. Четырехмерный вариант

3.2. О любом конечном п>4
Глава 2. Задачи с нормальными производными в граничных
условиях для уравнения общего вида
§ 4. Случай двух независимых переменных
4.1. Задача с условиями второго рода
4.2. Уравнения для определения <рк через у/к
4.3. Условия и характер разрешимости задачи
4.4. О задаче с условиями третьего рода
§ 5. Задача в пространстве
5.1. Уравнения для определения ц>к через ц/к
5.2. Условия и характер разрешимости задачи
§ 6. Четырехмерная задача
6.1. Уравнения для определения <рк через у/к
6.2. Характер разрешимости краевых задач

§ 7. Распространение результатов на случай любого конечного
числа измерений
Глава 3. Задачи для уравнения Лиувилля
§ 8. Задача Гурса
8.1. Вывод формулы решения задачи Гурса
§ 9. Задачи с нормальными производными в граничных условиях
9.1. Задача с условиями второго рода
9.2. Задача с условиями третьего рода
9.3. Задача с вторыми нормальными производными
Литература
Введение
Рассматриваемые в диссертации задачи связаны с уравнением
7г=пи), (0.1)

где Е- дифференциальный оператор общего вида порядка л-1, содержащий лишь производные от искомой функции, получаемые из левой части этого уравнения путем отбрасывания, по крайней мере, одного дифференцирования, и саму функцию. В соответствии с классификацией из [1, с. 15-16] «данное уравнение относится к гиперболическому типу. При Л = 2 это есть хорошо известное в математической физике уравнение
иху=Дх,у,и,их,иу). (0.2)
Уравнения вида (0.1) с линейным оператором Р используются при изучении процессов вибрации и других ситуаций из механики и математической физики, а также играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений [3, с. 63,109].
Первыми исследователями линейного варианта уравнения (0.1) являются Л. Бианки [64] и О. Никколетти [66], предложившие распространение на случай любого л метода решения задачи Коши, разработанного в свое время Б. Риманом для уравнения
II ху = а(х,у)и х +Ь(х,у)иу + с(х,у)11 + /(х,у). (0.3)
Этот же метод потом разрабатывали Е. Лаэ [65] и М. К. Фаге [54]-[56], в том числе в связи с операторно-аналитическими функциями и проблемой эквивалентности дифференциальных операторов. Различные вопросы, относящиеся к линейному уравнению вида (0.1), изучались

-дУ0 Л4
Эх дх дх
-ди0 А
ду Эм
ЭЯ„ _5(/0 +зкч
дг дг дг
З2и„_ ,д2и0 +дХ
дхду дхду дхду
д2ип_ о ь СО и + дХ
дхдг дхдг дхдг
II «г Ь сч СО О £> СО и + дХ
дудг ЭуЭг дудг
, дК ,

дх '

К..+-

+...+-
ЭгЭм

ЭуЭг
сходятся равномерно к предельным функциям, которые мы обозначим
Щх,у,г) = Ига и„(х,у,г),
л-> со
«-►00 ЙХ
е(„,г)=ит£Н>,
Л->оо фу
дип(х,у,г)
Я(х, у, г)=Нш

огау
т., л_,- ди2(х,у,г)
Т(х,у,г)- 1нп
п->°° ос&
Я(х,.М,г)
оуог