О некоторых нелокальных краевых задачах для параболических уравнений и систем

• Автор: Суркова, Матрена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ханты-Мансийск
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1 Функциональные пространства

1.2 Интерполяция пространств

1.3 Вспомогательные теоремы, леммы и утверждения

2 ЗАДАЧА КОШИ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭВО-ЛЮЦИОНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Задача Коши

2.1.1 Задача Коши для уравнений первого порядка

2.1.2 Задача Коши для уравнения первого порядка, зависящего

от параметра

2.2 Краевая задача с общими нелокальными условиями
2.2.1 Общая постановка задачи
2.2.2 Краевая задача с интегральным условием
3 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ и СИСТЕМ
3.1 Задача Коши
3.2 Краевая задача с общим нелокальным условием
3.3 Краевая задача с интегрального краевым условием
3.4 Краевая задача для системы уравнений Навье-Стокса
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Уравнения параболического типа встречаются во многих отделах математики и математической физики, и аспекты, в которых они исследуются, очень разнообразны. Наиболее часто встречаются уравнения второго порядка, описывающие процессы диффузии, тепломассоперено-са и многие другие процессы в физике.
В настоящее время активно развивается теория краевых задач для параболических уравнений и систем высокого порядка. Отметим здесь известные монографии Ладыженской O.A., Солонникова В.А. и Уральцевой H.H. [47], Крылова Н.П. [79, 80], Эйдельмана С.Д. ]78], Лионса Ж.Л. и Мадженеса Е. [81] и ряда других авторов, где изложены основы теории параболических уравнений и систем. Достаточно полная библиография приведена в [79], [47]. Часто при проведении исследований привлекается теория полугрупп и результаты связанные с разрешимостью абстрактных параболических уравнений, операторно-дифференциальных уравнений, где участвуют генераторы аналитической полугруппы. Основы этой теории изложены в работах Прусс Ж., Симонетт Г., Эпгел К.Ж., Нагел Р. [28], [45]. Одно из направлений теории параболических уравнений и систем уравнений, бурно развивающееся в последнее время, есть теория нелокальных краевых задач. Исследование нелокальных задач началось в начале прошлого столетия. В становлении этой теории большой вклад внесли А.В.Бицадзе, A.A. Самарский [69, 70]. Нелокальные задачи являются непосредственным обобщением классических краевых задач, однако при их изучении возникает ряд дополнительных трудностей. Это такие задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях. Простейшие параболические уравнения и системы записываются в виде
ut-Lu = f, (0.0.1)

где L — эллиптический матричный дифференциальный оператор. В абстрактной постановке оператор L заменяется на генератор аналитической полугруппы. В настоящее время имеется очень много работ посвященных исследованию уравнений такого вида. Например, очень хорошо изучена задача Коши для (0.0.1): Гривар П. [37], Прусс Ж., Симонетт Г. [28], Кунстмэн П.К., Вейс JI. [19], Янпинг JI., Джеймс X. [76], Стефанелли В. [77], Егоров И.Е. [53], Шелухин В.В. [54], Аширалиев А. [59], Бостан М. [61], Покорный Ю.В. [94], Бижевски JI. [104], [106], Хингмей X. [107], Сагадеева М.А. [108].
Прусс Ж. и Симонетт Дж. [28] рассматривают абстрактную задачу Коши
ü{t) + Au{t) = f(t), t > 0 u(0) = 0,
где А — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X. Задача рассматривается в весовом пространстве Ьр с весом ui(t) = tА1-/4, где 1 /р < ц. Наиболее часто в приложениях возникают условия вида
и( 0) = аи(Т) + щ. (0.0.2)
В этом случае, если оператор L — эллиптический, определенный в некоторой области G, то а — некоторая функция или просто постоянная величина. Условие (0.0.2) можно назвать условием типа периодичности, поскольку, при а = 1 оно превращается в условие периодичности, которым и посвящено наибольшее количество работ. Отметим, например, работы Денч М., Джеззар
С. [1], [2], [64], Кожанов А.И. [9], Власий О.Д., Пташник В.Й. [1], Керефов A.A. [3], Кенгне Э. [2], Кеянтуо В., Лизама К. [63].
Кенгне Э. [2] исследует краевую задачу для системы псевдодифференци-альных уравнений произвольного порядка с нелокальными условиями
щ + P(-idx)u = 0,
А(—гдх)и(х, 0) + В{—idx)u(x, Т) — <р(х).
Здесь уравнение и краевые условия содержат псевдодифференциальные операторы, чьи символы определены и непрерывны в некоторой области. Уста-
Пусть / =
Оценим первое слагаемое.
/, *е(о,т),
О, £ > Т или £ < 0.
Делаем замену: £ — £ = г/ используем определение /. Тогда

I еЛ(‘-«/(£Ж = J ЄХг,У(і — 7])с1г)

Ьч(0,оо;Е)

У еЯсЛ1/(£ - ї?)|І£,(0,«>;£)<*? <
£,(Я;£) С
|ДеЛ| “ |А|
(2.1.7)
Таким образом, первое слагаемое оценивается так:

Второе слагаемое оцениваем с использованием условия (2.1.6) и неравенство Гельдера. В итоге, получим оценку
И, = 11(а-АГ711,<

Следующая теорема — обобщение теоремы 5.4 главы 1 из [26].
Теорема 2.1.3. Пусть / = 0, и0 € и выполнены условия (2.1.2), (2.1.6) для некоторого в € (7г/2,7г). Тогда существует единственное решение задачи (2.1.1), (2.1.5) такое, что
и е ЦТ] (0, Т; Д|-1+7+1/9) п Ь9(0, Т; Б?3+7+1/9).
Решение и бесконечно дифференцируемо при £ > 0 и справедливы включения
и(¥е1,(0,Г;Вр+^+1/?) при 50 > —1/д,
ДО До е С([0,Г];В;р+Йо+7) при А0 >
и оценки
||и(і)£*°|
£,(0 ,Т;В‘
в_і+5о+7+і/,. < СіЦиоЦв», до > — 1/у,
||и^£ ° 11с([0,Т];В^‘+,5о+7) — И^оЦв^) й А 0, где С — некоторая постоянная, зависящая от i, <5о и постоянной из (2.1.2).