Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции

• Автор: Россовский, Леонид Ефимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 223 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Модельная краевая задача
1 1 Класс функциональных онсраюров
1 2 Разрешимое!ь модельной краевой задачи Случай уравнения
со с/кашем арг) мешов
1 3 Разрешимойь модельной краевой задачи Случай уравнения
со сженпем п растяжением аргументов
1 4 Уравнение с переменными коэффпцпеп тми
1 5 Приложение к задаче об успокоении системы управления с
запаздыванием пропорциональным времени
2 Сильно эллин I ические уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции
2 1 Проблема коэрцпшвносл п Случай уравнения с.постоянными
коэффициентами
2 2 Проблема коорцнiшлюсти Сличай равнения с переменными коэффициентами
2 3 Разрешимость п спектр первой краевой задачи для сильно
эл лип j нческого равнения
2 4 Гладкое!ь обобщенных решений
2 5 Приложение к дифференциально-разностным уравнениям
3 Общая краевая задача в npocipaHci вах Соболева для уравнения высокого порядка со сжатием аргументов неизвестной функции

3 1 Операторы сжатия в пространствах символов
3 2 Псевдодпффсренциалытые операторы со сжатием аргументов
3 3 Фродгольмова разрешимость общей краевой задачи в шкале
пространств Соболева
4 Разрешимость функционально-дифференциального уравнения в весовых пространствах
4 1 Весовые просфансгва и преобразование Фурье
4 2 Оценка для оператора умножения на однородную функцию
Операторы свертки в весовых пространствах
4 3 Операторы свертки со сжатиями артументов
4 4 Разрешимость функционально-дифференциального уравне-
ния в шкале весовых пространств
5 Спектральная устойчивость функционально-дифференциального оператора
5 1 Вариациопныссвойствасобствспных значений неотрицатель-
ною самосопряженного оператора
5 2 Гладкость обобщенных решений п обобщенных собственных функций задачи Неймана цля функционально-дифференциальною уравнения
5 3 Поведение собственных значений задачи Неймана для функционально-лпфференцнально! о равнения при малых вит-ретшпх деформациях области
5 4 Некоторые обобщения
Литература

Введение
Актуальность темы
Диссертационная работа посвящена .линейным уравнениям с частными производными четного порядка, содержащим сжатия и растяжения аргументов неизвестной функции под знаком старших производных. В основном изучаются краевые задачи для таких уравнений в ограниченных областях пространства М"'. Исключение составляет глава 4. где уравнение рассматривается во всем пространстве.
В теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами пространственных переменных в старших производных в настоящее время существует несколько направлений. Одно из них восходит к известной работе Т Карлемана [66]. В 1932 году им была рассмотрена задача о нахождении голоморфной в ограниченной области О функции Ф, удовлетворяющей на границе условию
Ф(г) + а(г)Ф(д(г)) = ф(г) (г 6 Ш),
связывающему значение функции в точке z £ <90 с ее значением в точке g(z) £ dfl, где д — диффеоморфизм дП периода 2. При сведении такой задачи на границу возникает сингулярное интегральное уравнение со сдвигом. Его естественным обобщением является уравнение
X D)u(g-l{x)) = f(x) (X € М) (0.1)

на гладком замкнутом многообразии М. в котором суммирование ведется по конечному числу элементов g некоторой группы G диффеоморфизмов многообразия М, a ag(x, D) — заданные дифференциальные или псев-додифференциальные операторы на М. При этом сама группа G может

Из (1.5) следует, что область П обязательно содержит начало координат. С другой стороны, всякая выпуклая область, содержащая начало координат, удовлетворяет условию (1.5), в то время как обратное, конечно, неверно. Кроме того, это условие напоминает условие звездности относительно начала координат (область (1 называется звездной относительно точки х Є П, если для любой точки у Є Сі отрезок х.у| целиком содержится в И), но на самом деле значительно слабее: звездиость 11 относительно начала координат равносильна тому, что С1 С нС1 для всех к > 1 — в условии же (1.5) соотношение выполняется лишь при фиксированном ц > 1. Поэтому и с регулярностью границы дП области П условие (1.5) никак не связано, в отличие от условия звездности. Примеры области, удовлетворяющей условию (1.5), изображены нарис. 1.1, 1.2.
Рис. 1.1: „звездная"' область
Лемма 1.2. Пусть О С К" — ограниченная область. удовлетворяют,ая условию (1.5). Тогда
а) если | Ар| > с/"/2,- то оператор Р — АоI непрерывно и взаимно однозначно отображает Н8(С1) па Н*(С1) для всех з — 0,1,.. ./
б) если |Ао| < ц"12~Л для некоторого ь = 0,1,. .., то оператор Р — Ао/ непрерывно и взаимно однозначно отобраэ/сает, А/'фП) на Нь(с/С1).
Доказательство, а) Очевидно, оператор Р —Ао-/ : НЛ(К") —> Нв(Кп) ограничен. При помощи почленного дифференцирования ряда в формуле (1.3)