Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков

• Автор: Лайпанова, Аида Манафовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 70 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Краевые задачи для смешанных уравнений гиперболопараболического типа второго порядка
§1.1. Задача Франютя для смешанного уравнения гиперболо-параболического
типа второго порядка
§1.2. Краевая задача для нагруженного гиперболо-параболического уравнения
второго порядка с сингулярным коэффициентом
§1.3. Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-
параболического типа второго порядка ..,
Глава II, Краевые задачи для смешанных уравнений третьего
порядка
§2.1. Задача Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка со
спектральным параметром
§2.2. Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений третьего
порядка
§2.3. Краевая задача со смещением для нагруженного уравнения смешанного
типа третьего порядка с разрывными условиями сопряжения
Литература
Введение
Теория краевых задач для уравнений смешанного гиперболо-
параболического типа, в силу своей теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Она привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и её приложениями.
Интерес к этим задачам, прежде всего, связан с тем, что многие
математические модели тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах [29], пластовых систем [1], движения малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой [12], распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [57], формирования температурного поля [59], движения вязкоупругой и вязкой жидкостей [27], сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для гиперболо-параболических уравнений содержится в монографиях Т.Д. Джураева, А. Сопуева и М. Мамажанова [14], Т.Д. Джураева [13]; в докторских диссертациях Д. Базарова [2], В.А. Елеева [19], O.A. Репина [47], К.Б. Сабитова [49]. Следует также отметить работы Х.Г. Бжихатлова [3],
Х.Г. Бжихатлова и А.М. Нахушева [4], В.Н. Врагова [6, 7], С.И. Гайдука [9, 10],
С.Х. Геккиевой [11], И.М. Гельфанда [12], В.А. Елеева [17, 20], Л.А. Золиной [22, 23], Н.Ю. Капустина [26], В.М. Корзюка [27], А.М. Нагорного [31], А.М. Нахушева [34], Е.А. Островского [46], А. Сопуева [54, 55], Г.М. Стручиной [56], Я.С. Уфлянда [58], в которых были поставлены и исследованы краевые задачи для таких уравнений.
Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа (впервые термин "нагруженное уравнение" появился, применительно к интегральным
уравнениям, в исследованиях А. Кнезера (1914г.) [60]. Нагруженные уравнения возникают при численном решении интегро-дифференциальных уравнений [41], при исследовании обратных задач [5, 24], при линеаризации нелинейных уравнений [37, 40], при изучении некоторых задач оптимального управления [16], при эквивалентном преобразовании нелокальных краевых задач [42, 43], при моделировании процессов переноса частиц [8, 61], при моделировании процессов фильтрации, а также управления и регулирования уровня грунтовых вод и т.д.
В настоящее время круг рассматриваемых задач для смешанных гиперболопараболических уравнений, а также для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа значительно расширился. Наряду с изучением основных краевых задач для таких уравнений, начиная с семидесятых годов, большое внимание исследователей уделяется постановке и изучению нелокальных краевых задач. Это объясняется тем, что многие практически важные задачи, связанные с динамикой почвенной влаги [38-41], с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме [43], с охлаждением неоднородного изогнутого стержня [43], моделированием процесса излучения лазера [45], приводят к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в книге А.М. Нахушева "Уравнения математической биологии" [44], исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи.
В имеющихся на сегодняшний день работах главным образом изучались нелокальные краевые задачи для эллиптико-гиперболических и гиперболопараболических уравнений второго порядка. Что касается нелокальных краевых задач для смешанных и смешанных нагруженных уравнений более высокого порядка, то они остаются малоисследованными.
Все это подчеркивает как теоретическую, так и практическую актуальность

что о(1,0) = 0, о(х,0) = солхг Следовательно о(х,у)зО. Тогда из соотношения (2.1.4) имеем, что и(х,у) з 0.
В области П, рассмотрим тождество
“(««< ~иУ- Л“) = - (^“2), ~ Л“2 = °-
Интегрируя его по области П, и, учитывая, что <р,(0) = <р2{0) = <р3(0) = 0, будем
иметь

(ии„-^и1)л ~(^и2)у ~ Л«
й/хА^у =

= Ди2(х,/г) - и2(х,0)рх + |иг2(1,у)<(у + 2Я, |и2(х,_у)дЬи(у = 0. (2.1.13)
о о о.
Так как м(л,0) = 0, то из (2,1,13) получаем, что и(х,Ь) = 0, «,(1,у) = 0, и(х,у) = 0, У(х,у)еЦ. В области £Т2 однородная задача Дарбу и(х,0) - 0,
ф и(х,-х) = 0 для уравнения (2.1.1) при у < 0 имеет только тривиальное решение
и(х,у) = 0,Ч(х,у)е(Ъ2. Следовательно, ф,у) = 0 в О.
Докажем теперь существование решения задачи 2.1.
В уравнении (2.1.1) перейдем к пределу при 0+ и учтем граничные условия (2.1.2). Получим задачу
гДх)-Л,г(х) = у(х), (2.1.14)
г(0) = ф, (0), т( 1) = р2(0), г'(0) = р,(0), (2.1.15)
где г(х) = и(х,0), у(х) = иДх,0).
Интегрируя равенство (2.1.14) трижды и учитывая условия (2.1.15), получим функциональное соотношение между г(х) и у(х), принесенное на линию у=0 из параболической части О, в виде
т(х)~— |(х-г)2г(г)Л = — |(х-г)2у(/)Л + —г"(0)х2 + <р3 (0)х + <р1 (0), (2.1.16)
2 о 2 0