Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностей

• Автор: Неустроева, Наталья Валериановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. КОНТАКТ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ТОНКОЙ УПРУГОЙ ВАЛКОЙ
1.1. Постановка задачи
1.2. Смешанная формулировка задачи
1.3. Жесткое включение в контактной задаче упругой пластины с тонкой упругой балкой
1.3.1. Постановка контактной задачи с жестким включением
1.3.2. Предельный переход от упругого включения к жесткому
2. КОНТАКТ УПРУГИХ ПЛАСТИН РАСПОЛОЖЕННЫХ ПОД УГЛОМ ДРУГ К ДРУГУ
2.1. Постановка семейства контактных задач с упругим включением
2.2. Первая предельная задача
2.2.1. Предельный переход от упругого включения к жесткому
2.2.2. Постановка задач
2.3. Вторая предельная задачи
2.3.1. Предельный переход от упругого включения к жесткому
2.3.2. Постановка задач
2.4. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин
2.4.1. Постановка контактной задачи с жестким включением
2.4.2. Предельный переход от упругого включения к жесткому
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
С каждым годом наблюдается возрождение интереса к теории упругости, как в отношении физических основ, так и в отношении математической теории. Объектом исследования данной теории являются математические модели, описывающие многие реальные физические явления. С помощью таких моделей можно описать широкий класс процессов деформирования твердых тел. Моделирование процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент. Возникающие при этом математические задачи оказываются весьма интересными и актуальными.
Среди математических задач механики деформируемого твердого тела важное место занимают контактные задачи со свободной границей. В этом случае область контакта заранее неизвестна и определяется в процессе самого решения. Задачи с неизвестной областью контакта, как правило, нелинейные. Они привлекают в настоящее время все большее внимание математиков - как специалистов по уравнениям с частными производными, так и специалистов по вычислительной математике.
В данной диссертационной работе изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами, описывающие контакт двух упругих тел разных размерностей и проблему жестких включений. Это новый класс задач механики деформируемого твердого тела в приложении к теории упругости. Основная трудность в задачах определяется наличием ограничений типа неравенств, налагаемых на решения. Ограничения носят геометрический характер и являются условиями взаимного непроникания упругих тел. Следовательно, краевые условия на негладких компонентах границы будут иметь вид системы уравнений и неравенств. Учет включений при контакте упругих тел разных размерностей приводит к новым постановкам задач, существенно отличных от постановок классических контактных задач теории упругости. Несмотря на своеобразие указанных задач, они по своей физической природе и структуре описывающих их уравнений и краевых условий родственны классическим контактным задачам (задачам типа Синьорини).
Исследования в области контактных задач теории упругости начаты в классических работах Г. Герца. В 1882 г. Г. Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривленными поверхностями. Он располагал лишь формулами теории потенциала для одного эллипсоида, представляющими собой простейшие решения задач теории потенциала и теории интегральных уравнений. Основополагающими работами по контактным задачам считаются также работы Я. Буссинеска, С.А. Чаплыгина и др. Из-за отсутствия необходимой математической базы развитие контактных задач в последующие 40 — 50 лет заключалось, в основном, в экспериментальной проверке теории и развитии ее применений в инженерном деле (следует отметить работы А.Н. Динника, Н.М. Беляева и др.). Весьма эффективными оказались методы теории функций комплексного переменного, развитые Н.И. Мусхели-швили и его учениками начиная с 30-х годов прошлого века [47]. Эти методы решения задач теории упругости базирующиеся на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, построены в работах [7], [8], [11], [46], [47]. Следует также отметить математический аппарат, созданный академиком А.М. Ляпуновым и используемый для решения ряда контактных задач, в частности, в работе И.Я. Штаермана [80]. Применение методов теории функций комплексного переменного в плоских контактных задачах можно найти в [10], [16], [46] и др. Теория пространственных контактных задач была развита в [10], [41], [80] и др.
С середины XX века развитие механики контактных взаимодействий шло стремительными темпами. В 1976 г. вышла обзорная монография «Развитие контактных задач в СССР» под редакцией Л.А. Галина [60]. В этой монографии собраны сведения и решения более чем из 1000 источников. В ней указаны такие направления развития теории контактных взаимодействий как статические и динамические, плоские и пространственные. Здесь приводятся сведения, относящиеся к смешанным задачам теории функций комплексной переменной, сингулярным интегральным уравнениям. Есть разделы, посвященные методу Винера - Хопфа, парным интегральным уравнениям, методу интегральных уравнений, а также асимптотическому методу. Вышеуказанные методы решения контактных задач широко используются для исследо-

т„ = <р, г"(т) = ф на 7±. (1.2.40)
Здесь 1р,ф - произвольные функции из Ь2(у).
Задача (1.2.37) - (1.2.40) допускает вариационную постановку. Можно решить задачу минимизации функционала энергии
{ J (к-]к1ЮМи1 - ! /ш - J ф[ги + У 7 (1.2.41)
П7 П7 7 7 )
пространстве Яр(Г27) и записать в виде следующего тождества шеЯр(07), J (1цк№,ыУм ~ I /V-
JЬи(гп)[у + J Ши =0 /у е Яр(07). (1.2.42)

Очевидно, тождество (1.2.42) имеет единственное решение, поскольку функционал обладает свойствами коэрцитивности и слабой полунепрерывное™ снизу.
Далее заметим, что решение вариационной задачи (1.2.42) обладает свойством
[Ьи(т) = 0 в смысле Я~3/2(£),
[т„] = 0 в смысле Я_12(Е).
Возьмем в (1.2.19) тестовые функции вида (т,М) — (т ± т,М), где т = {т}, У).;у = —Ьцыгпы, г,3 — 1)2. Подставляя, получим
I и)тть цд -Ь 0.
Применяя формулу Грина (1.1.7), находим
У + У Ъцытыт + ([(т)], «1)3/2,х - = 0,
п7 1/,2’Е
из которого в силу уравнения (1.2.35) следует, что
([(ш)],ш)3/2щ - = 0-
1/2,Н