Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом

• Автор: Коверга, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Некоторые особенности поведения решений системы уравнений Ланга-Кобаяши
1.1. Постановка задачи
1.2. Исследование устойчивости стационарного решения
1.3. Построение нормальной формы уравнений траекторий на интегральном многообразии
2. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном дифференциальном уравнении второго
порядка с запаздывающим аргументом
2.1. Постановка задачи
2.2. Анализ линейной части
2.3. Построение нормальной формы уравнения
2.4. Анализ нормальной формы уравнения
2.5. Хаотические колебания генератора электромагнитных колебаний
3. Нелинейные колебания одной распределенной динамической системы
с бесконечным запаздыванием
3.1. Постановка задачи
3.2. Анализ линейной части
3.3. Построение нормальной формы
3.4. Численный анализ
4. Некоторые вопросы колебаний ротора из материала
с нелинейно наследственными свойствами
4.1. Постановка задачи
4.2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения
4.3. Построение нормальной формы

4.4. Анализ нормальной формы краевой задачи
4.5. Случай невырожденного параметрического резонанса
Заключение
Литература

Введение
Диссертация посвящена исследованию установившихся колебательных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, возникающих при изучении прикладных задач. Изучаются установившиеся решения бифурцирующие из состояния равновесия при изменении параметров уравнения. В качестве основного метода исследования используется метод интегральных (инвариантных) многоообразий, позволяющий сводить изучение поведения установившихся решений исходного уравнения (системы уравнений) с бесконечномерным фазовым пространством к исследованию поведения решений на критическом инвариантном конечномерном многообразии. Поведение решений на критическом инвариантном многообразии может быть описано некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть построена в нормализованном виде и носит название нормальной! формы исходного дифференциального уравнения. Установившиеся решения нормальной формы во многом определяют установившиеся решения исходного уравнения с начальными условиями из некоторой фиксированной окрестности изучаемого состояния равновесия.
Указанный подход в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом стал возможен в связи с построением теории инвариантных (центральных) многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов в банаховом пространстве, позволяющей сформулировать принцип сведения в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений. Понятие инвариантного многообразия было введено А. Пуанкаре [1] при изучении отображений, порождаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Принцип сведения использовал А.М. Ляпунов [2] при изучении устойчивости решений в критических случаях, хотя понятие инвариантного многообразия он не использовал. Различные вопросы теории инвариантных многообразий и принципа сведения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривали Д.В. Аносов [3], В.А. Плисс [4], S. Sternberg [5], A. Kelley [6], Ю.Н. Бибиков [7-10], Дж. Хейл [11].
Эти результаты систематизированы в монографиях Ф. Хартмана [12], Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой [13], а также А.М. Самойленко [14] во введении которой имеется достаточно подробный обзор по указанной тематике.
Начиная с 70-х годов, вопросы, связанные с изучением инвариантных многообразий, получили свое дальнейшее развитие в связи с распространением полученных ранее

Выражения (2.14)-(2.15) определяют в плоскости (В, к) при различных значениях А параметрические уравнения границ области Р-разбиений.
На рис. 2.1 приведена картина области Р-разбиений для А = 0.1.

Рис.2.1. Картина Р-разбиения при А
Из проведенного анализа расположения корней характеристического уравнения (2.3) в зависимости от входящих в него параметров и картины Р-разбиений следует, что при определенных значениях параметров характеристическое уравнение (2.3) может иметь две пары комплексно сопряженных корней вида ±*<7j(<7j > 0, j = 1,2). При этом остальные корни уравнения (2.3) имеют отрицательные вещественные части.
Рассмотрим возможность разонансного соотношения между cri и <т2.
При к = 1 равенство
2(я + a0)/h0 = (Зя - a0)/h0
дает
а0 = тг/3, h0 = 4тгУ2/3, А0 = л/б/6, В0 = л/6/3, <т2 = у/2/2, = у/2, (2.16)
т.е. возможен резонанс 2 ті(37г + а0) = т2{57Г - а0),
дает
т.е. возможен резонанс
За і — 2(72»
(2.17)
При к = 3 получим следующее соотношение
Ші(57г + а0) = (77Г - а0)т2,