Грубые и негрубые разрывные системы на плоскости

• Автор: Козлова, Валентина Степановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 147 c. : ил

Глава I. Грубость разрывной системы

§ I. Основные определения

§ 2. Необходимые условия грубости точки

§ 3. Свойства квазикривых

§ 4. Топологическая структура окрестности особой точки

§ 5. Необходимые и достаточные условия грубости особой точки

§ 6. Негрубость квазикривой, оба конца которой являются квазисепаратрисами

§ 7. Грубые замкнутые квазикривые

§ 8. Необходимые и достаточные условия грубости системы в

области

Глава II. Негрубые особые точки, лежащие на гладкой линии

разрыва
§ 9. Основные определения
§ 10. Типы особых точек
§ II. Степени негрубости особых точек I типа
§ 12. Степени негрубости особых точек II типа
§ 13. Особые точки Ш типа, имеющие 1-ую степень негрубости..108 § 14. Особые точки IV типа, имеющие 1-ую степень негрубости
§ 15. Особые точки 12 и VI типов
§ 16. Число топологических классов изолированных особых точек
различных степеней негрубости
Глава III. Классификация особых точек, лежащих на гладкой линии разрыва, относительно диффеоморфизмов класса С

§ 17. Предположения и леммы
§ 18. Основная теорема
Литература

Дифференциальные уравнения е разрывными правыми частями эффективно применяются для решения самых разнообразных по физической природе задач. Много таких задач рассматривается в книге [I]. Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях описывается дифференциальными уравнениями, правые части которых претерпевают разрывы в зависимости от текущего состояния процесса. Например, механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может принимать одно из двух противоположных по знаку значений в зависимости от направления движения. Исследование уравнения нелинейных колебаний при наличии кулоновского и вязкого трения проводится в [2]. В системах автоматического управления применение переключателей приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций вектора состояния системы и входных воздействий. Такие системы рассматривались во многих работах. Им посвящены, например, книги [3] - [5]. Вопросы теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями изучались, в частности, в работах [6] - [12].
В настоящей диссертации рассматривается в плоской области система двух уравнений первого порядка
Х= Pcx-, j), j = /А
правая часть которой имеет разрыв на конечном числе кусочно-гладких линий конечной длины. Эти линии называются линиями разрыва,
они разбивают область & на конечное число областей, в каждой из

которых функции Р ,QL € С вплоть до границы. На линиях разрыва используется доопределение [8].
В главе I изучаются грубые или структурно-устойчивые системы с разрывной правой частью. Для систем с гладкими правыми частями определение грубости имеется в [13], §6. Коротко говоря,

I. При всех ІН,...3К в точке 0 выполнено условие /6/.
Ц. Хотя бы для одного в точке 0 выполнено условие /7/.
Ш. Хотя бы для одного 1-е^ в точке 0 выполнено условие /20/ или /21/.
IV. Хотя бы ДЛЯ ОДНОГО Ъ-Оу в точке 0 выполнено условие /22/ или /23/.
Пусть выполнено і . В этом случае необходимо, чтобы нулевой вектор не лежал на границе множества СО С иьк) . Действительно, в противном случае 0 - состояние равновесия системы /А/, и для любого &>о существует система /А/, Г-близкая к /А/, для которой нулевой вектор не принадлежит множеству . Для
такой системы точка 0 не является состоянием равновесия, все точки некоторой окрестности V , отличные от 0 , - неособые (в силу условия /&/). Система /А/ имеет в/ топологическую структуру, отличную от /А/, т.е. точка 0 - негрубая для /А/. Итак, если есть
квазисепаратриса, то точка 0 - простое квазиседло. Если нет квазисепаратрис, то докажем, что
Допустим, что . Выберем систему координат так, чтобы
совпадала с положительной полуосью 0^ . Так как все - области типа А, то в силу I угол между и меньше 5Г ' ^ задается уравнением: у = А(х) , ХбЕ0,Хо] > и в вблизи точки 0 на траекториях системы /А/ 4^/сІХ =0,1(Х5^)/Р1(Х,^)? Р, (0,0) При малых^ рассмотрим систему /ІҐ/, совпадающую с /А/ во всех областях ^ , а в ^ пусть х = § = 5 т*е*
1-г • х /24
При достаточно малых^ функцию последования системы /А*/ определяем на Е^ и направление обхода по квазикривой выбираем: от Ь^ в сторону области . Квазикривая системы /РҐ/ из точки (О,Ц)6 через области приходит в точку