Синтез управлений при двойных и неоднотипных ограничениях

• Автор: Дарьин, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 141 с. : ил.

1 Задачи управления при двойном ограничении

1.1 Введение

1.1.1 Сведение к системе с нулевой линейной динамикой

1.2 Управление при геометрическом и интегральном ограничении

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Область достижимости

1.2.3 Область разрешимости

1.2.4 Метод динамического программирования. Функция цены

1.2.5 Об эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости

1.2.6 Примеры

1.3 Геометрическое ограничение, зависящее от интегрального

1.3.1 Постановка задачи
1.3.2 Принцип максимума
1.3.3 Существование решения
1.3.4 Единственность решения
1.3.5 Нахождение оптимальной траектории и управления
1.3.6 Задача синтеза управлений. Функция цены
1.3.7 Примеры
1.4 Иллюстрации
2 Синтез управлений в условиях неопределенности при двойном ограничении на управление
2.1 Введение
2.2 Постановка задачи
2.3 Сведение к задаче без фазового ограничения
2.4 Альтернированный интеграл
2.4.1 Программные множества разрешимости
2.4.2 Интегральные суммы

2.4.3 Случай выпуклого целевого множества
2.5 Синтез управлений
2.5.1 Функция цены и уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана
2.5.2 Последовательный максимин и минимакс
2.5.3 Эволюционное уравнение
2.5.4 Синтезирующие стратегии
2.6 Примеры
2.7 Вспомогательные утверждения
2.8 Иллюстрации
3 Синтез управлений в условиях неопределенности при разнотипных ограничениях на управление и помеху
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи
3.2.1 Сечения множества разрешимости и целевого множества
3.3 Альтернированный интеграл
3.3.1 Последовательный максимин
3.3.2 Последовательный минимакс
3.4 Синтез управлений
3.4.1 Функция цены и уравнение динамического программирования
3.4.2 Последовательный максимин и последовательный минимакс
3.4.3 Эволюционное уравнение и синтезирующие стратегии
3.5 Одномерный случай
3.5.1 Эволюция множества разрешимости
3.5.2 Функция цены и синтез управлений
3.6 Примеры
3.7 Иллюстрации
Заключение
Литература

Данная работа посвящена задачам синтеза гарантирующих управлений при неопределенности. Подобные проблемы актуальны в математических моделях высоких технологий. Изучаемые управляемые системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, однако задача синтеза при этом нелинейна. Последнее объясняется тем, что синтезирующая стратегия является многозначным отображением, и после ее подстановки в исходные уравнения «просинтезированная» система принимает вид нелинейного дифференциального включения. От гарантирующего управления требуется привести систему на заранее заданное целевое множество, невзирая на возможное воздействие помех, информация о которых исчерпывается указанием возможных границ изменения. Составляющими частями решения задачи при этом являются множество разрешимости, состоящее из всех точек, из которых цель действительно может быть достигнута в любом случае; функция цены, равная минимальному гарантированному расстоянию до целевого множества в конечный момент; и, наконец, синтез управлений — функция текущего положения, указывающая, какие управляющие воздействия должны выбираться в каждом из возможных положений системы.
К настоящему времени разработан широкий спектр методов для решения подобных задач.
Альтернированный интеграл, введенный Л. С. Понтрягиным в статьях [47, 48] и более подробно описанный им в работе [49], позволяет свести вычисление множества разрешимости задачи синтеза гарантирующих управлений к интегрированию многозначных отображений. Этот подход нашел свое отражение в работах Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольского, Е. С. Половинкина, Н. X. Розова.
В теории, разработанной Н. Н. Красовским и его сотрудниками [14, 17-25, 58, 62, 72], предложена формализация дифференциальных игр и подробно исследована их структура. При этом, в частности, указано, каким образом можно построить синте-

с геометрическим ограничением
|и(*)| <
и начальным запасом энергии ко
По теореме 1.1 имеем, что множества Лей] и совпадают и равны
Л'сМ = Лт[«1] = [-|, |].
Пусть I = 1. В случае геометрических ограничений оптимальная траектория
и‘а{€) = 1,
а для интегральных ограничений
«;(*) = §£2.
Видно (рис. 1.2), что траектория и*0 не удовлетворяет интегральному ограничению, а и) — геометрическому, поэтому множество Асий] не может совпадать со множествами Х[^] или Ха[Ь]. Покажем теперь это более строго.
Из принципа максимума получаем, что оптимальное управление имеет вид
„.(,), ((*/«•)=. 0 <«<«•; р, (•<(^1.
Константа £* выбирается из условия
и равна £* = |. Используя это управление, получаем А^й] = , что почти
на 7% меньше множеств Ха и Ха- Это относительное различие множеств Ха и ХаПА) можно увеличить, взяв в правой части системы В(£) = £т вместо £2; с увеличением тп оно растет, оставаясь, однако, в пределах 12%.
Пример 1.2. Траектория системы, обеспечивающая попадание на границу области достижимости Хс^], в промежуточные моменты времени не обязательно будет находиться на границе Лщй- На рисунке 1.3 представлена траектория системы из примера
1.1 (сплошная линия) и граница множества достижимости в соответствующие моменты времени (пунктирная линия). Видно, что на интервале (<0^1) система все время находится внутри множества достижимости.